(IME) Sejam z_{1}=10+6 \cdot i e z_{2}=4+6 \cdot i números complexos tais que: \arg \left(\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\frac{\pi}{4}. Determine o módulo do complexo: z-7-9 \cdot i.

Passo 1

O enunciado nos dá os números complexos
z_{1}=10+6\cdot i,\qquad z_{2}=4+6\cdot i
e a condição
\arg\!\left(\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\frac{\pi}{4}.
O que é pedido: determinar o módulo do complexo z-7-9\cdot i, ou seja calcular a distância |z-(7+9i)| para qualquer z que satisfaça a condição dada.
Informações relevantes:
  • z_{1} e z_{2} têm as coordenadas cartesianas (10,6) e (4,6) no plano complexo (ambos com parte imaginária 6).
  • A condição sobre o argumento envolve a diferença de argumentos: \arg\!\left(\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\arg(z-z_{1})-\arg(z-z_{2}).
  • Pedem o módulo em relação ao ponto 7+9i, ou seja a distância entre z e o ponto (7,9).

Passo 2

Interpretação geométrica da condição em detalhe (explicação didática).
  • Para um número complexo w, \arg(w) é o ângulo que o vetor correspondente (do origem até w) faz com o eixo real positivo.
  • Então \arg(z-z_{1}) é o ângulo do vetor que vai de z_{1} até z (ou pensado como o vetor a partir de z apontando para z_{1}, dependendo da convenção); similarmente para \arg(z-z_{2}).
  • A diferença \arg(z-z_{1})-\arg(z-z_{2}) é o ângulo orientado entre os dois vetores que partem do ponto z em direção a z_{1} e a z_{2}. A condição diz que esse ângulo orientado vale \pi/4.
Geometricamente, o conjunto de pontos z tais que o segmento \overline{z_{1}z_{2}} é visto sob um ângulo fixo \theta (aqui \theta=\pi/4) é um arco de circunferência (mais precisamente, todos os pontos de duas possíveis circunferências simétricas em relação ao segmento, um arco acima e outro abaixo do segmento, excluindo os extremos). Essa é a clássica propriedade: pontos que subtendem um mesmo ângulo à mesma corda pertencem a uma mesma circunferência.

Passo 3

Encontrar o raio da circunferência que contém os pontos z.
  • Comprimento do segmento (corda) \overline{z_{1}z_{2}}:
|z_{1}-z_{2}| = |(10+6i)-(4+6i)| = |6+0i| = 6.
  • Relação entre comprimento da corda c, raio R da circunferência e o ângulo inscrito \theta: se um arco subtende no ponto da circunferência o ângulo \theta, então o ângulo central correspondente vale 2\theta e a corda satisfaz
c = 2R\sin(\theta).
Aqui \theta=\dfrac{\pi}{4}, logo \sin(\theta)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
R=\frac{c}{2\sin(\theta)}=\frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.
Explicação intuitiva: essa fórmula vem da relação geométrica entre corda, raio e o seno do ângulo (é útil decorar ou saber derivar rápido para provas).

Passo 4

Determinar a(s) posição(ões) do centro da(s) circunferência(s).
  • O centro da circunferência que contém a corda \overline{z_{1}z_{2}} deve estar sobre a mediatriz (perpendicular bisector) dessa corda.
  • O ponto médio de \overline{z_{1}z_{2}} é
\left(\frac{10+4}{2},\frac{6+6}{2}\right)=(7,6).
A mediatriz é a reta vertical x=7.
  • Seja o centro (7,y_{0}). Distância do centro a z_{1}=(10,6) deve ser R:
(10-7)^{2}+(6-y_{0})^{2}=R^{2}.
Substituindo R^{2}=(3\sqrt{2})^{2}=18,
9+(6-y_{0})^{2}=18\quad\Rightarrow\quad(6-y_{0})^{2}=9,
portanto
6-y_{0}=\pm 3 \quad\Rightarrow\quad y_{0}=6\pm 3,
ou seja y_{0}=9 ou y_{0}=3. Assim há duas circunferências possíveis, com centros em (7,9) e (7,3), ambas de raio 3\sqrt{2}. Cada uma fornece pontos que veem o segmento sob ângulo \pi/4, uma acima e outra abaixo da corda.

Passo 5

Escolher qual das duas circunferências corresponde à condição com sinal \dfrac{\pi}{4} (orientação positiva).
  • A equação \arg\!\left(\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4} distingue entre as duas soluções (a orientação importa). Uma maneira prática de decidir é testar um ponto simples da circunferência de cima (centro (7,9)), por exemplo o ponto superior da circunferência:
z_{\text{teste}}=(7,\,9+R)=(7,\,9+3\sqrt{2}).
  • Para esse z_{\text{teste}} os vetores z_{\text{teste}}-z_{1} e z_{\text{teste}}-z_{2} têm coordenadas simétricas em x (um com x-componente -3, outro +3) e mesma parte imaginária positiva, de modo que
\arg(z_{\text{teste}}-z_{1})>\arg(z_{\text{teste}}-z_{2})
e a diferença das fases é positiva. Fazendo a conta aproximada (ou reconhecendo a simetria) obtém-se concretamente
\arg(z_{\text{teste}}-z_{1})-\arg(z_{\text{teste}}-z_{2})=\frac{\pi}{4},
ou seja a circunferência de centro (7,9) corresponde ao sinal positivo \dfrac{\pi}{4}. (A circunferência com centro (7,3) daria o ângulo -\dfrac{\pi}{4} com a mesma ordem de termos.)
  • Portanto os pontos z que satisfazem exatamente a condição do enunciado pertencem à circunferência de centro em 7+9i e raio 3\sqrt{2}.

Passo 6

Concluir o que o enunciado pede.
  • Como todo z que satisfaz \arg\!\left(\dfrac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4} está sobre a circunferência de centro 7+9i e raio 3\sqrt{2}, a quantidade pedida é precisamente esse raio:
|z-(7+9i)|=3\sqrt{2}.

Resposta

3\sqrt{2}

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