Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, encontre-as. Justifique.
(a) \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. Vamos usar o determinante para testar a invertibilidade e a fórmula do inverso para matrizes 2\times2.

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Para
A = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A) = ad - bc.
Aqui a=3, b=1, c=2 e d=4, então
\det(A) = 3\cdot4 - 2\cdot1 = 12 - 2 = 10.
Como \det(A)\neq 0, concluímos que A é inversível.

Passo 3

Para matrizes 2\times2, a fórmula do inverso é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Substituindo os valores,
A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}4 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}4 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix}.

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