1. Verifique se as matrizes
\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ -1 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)\right\}
formam uma base de M(2 \times 2).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de quatro matrizes
A_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix},\qquad A_4=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
A pergunta é: essas quatro matrizes formam uma base de M(2\times 2)?
Informações relevantes dadas:
  • Foram fornecidas exatamente quatro matrizes A_1,A_2,A_3,A_4.
  • O espaço alvo é M(2\times 2), o espaço de todas as matrizes 2\times2.]

Passo 2

O que significa ser base? Vou lembrar passo a passo, bem devagar:
  • Definição de base: um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se é linearmente independente e gera (ou seja, gera todo o espaço).
  • Fato prático útil: \dim M(2\times2)=4. Então qualquer conjunto de exatamente quatro vetores (ou matrizes) em M(2\times2) é uma base se, e somente se, for linearmente independente. Isso porque, em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto com n vetores é base quando é linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar o espaço).
  • Portanto aqui basta mostrar que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes.
Explicando o que é linearmente independente: as matrizes são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 A_1+\alpha_2 A_2+\alpha_3 A_3+\alpha_4 A_4=0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0.

Passo 3

Para verificar independência é prático identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 usando a base padrão
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
e tomar como coordenadas a ordem \big(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\big).
Agora escrevo as coordenadas de cada A_i nessa ordem:
  • A_1=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} corresponde ao vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • A_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} corresponde ao vetor \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • A_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]-1&-1\end{pmatrix} corresponde ao vetor \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • A_4=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} corresponde ao vetor \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Colocando esses vetores como colunas, obtemos a matriz M cujas colunas são as coordenadas dos A_i:
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Se M for invertível (determinante diferente de zero), então as colunas são linearmente independentes, logo as matrizes A_i são linearmente independentes.]

Passo 4

Vou fazer eliminação por linhas (operações elementares) para triangularizar M e ver o determinante (ou verificar que é invertível). Trabalho passo a passo com operações que preservam se o determinante é zero ou não (operar linhas por soma/subtração não muda a nulidade do determinante).
Matriz inicial:
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair a linha 1 da linha 2: L_2:=L_2-L_1. Resultado
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair a linha 2 da linha 3: L_3:=L_3-L_2. Resultado
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair a linha 3 da linha 4: L_4:=L_4-L_3. Como L_3=(0,0,-1,0), temos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Agora M está em forma triangular superior com elementos da diagonal 1,1,-1,-1. O determinante é o produto da diagonal:
\det(M)=1\cdot 1\cdot(-1)\cdot(-1)=1\neq 0.
Como \det(M)\neq 0, a matriz M é invertível, logo suas colunas são linearmente independentes. Portanto as matrizes A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes em M(2\times2). Pelo item do Passo 2 (temos quatro vetores num espaço de dimensão 4), isso basta para concluir que elas formam uma base.
Observação prática para prova: bastaria também resolver a equação \alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\alpha_3A_3+\alpha_4A_4=0 e ver que só a solução trivial aparece; a eliminação acima é exatamente a versão matricial desse procedimento.]

Resposta

Sim. Essas matrizes formam uma base de M(2\times 2).

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