A pergunta é: essas quatro matrizes formam uma base de M(2\times 2)?
Informações relevantes dadas:
Foram fornecidas exatamente quatro matrizes A_1,A_2,A_3,A_4.
O espaço alvo é M(2\times 2), o espaço de todas as matrizes 2\times2.]
Passo 2
O que significa ser base? Vou lembrar passo a passo, bem devagar:
Definição de base: um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se é linearmente independente e gera (ou seja, gera todo o espaço).
Fato prático útil: \dim M(2\times2)=4. Então qualquer conjunto de exatamente quatro vetores (ou matrizes) em M(2\times2) é uma base se, e somente se, for linearmente independente. Isso porque, em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto com n vetores é base quando é linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar o espaço).
Portanto aqui basta mostrar que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes.
Explicando o que é linearmente independente: as matrizes são linearmente independentes se a única solução do sistema
Se M for invertível (determinante diferente de zero), então as colunas são linearmente independentes, logo as matrizes A_i são linearmente independentes.]
Passo 4
Vou fazer eliminação por linhas (operações elementares) para triangularizar M e ver o determinante (ou verificar que é invertível). Trabalho passo a passo com operações que preservam se o determinante é zero ou não (operar linhas por soma/subtração não muda a nulidade do determinante).
Agora M está em forma triangular superior com elementos da diagonal 1,1,-1,-1. O determinante é o produto da diagonal:
\det(M)=1\cdot 1\cdot(-1)\cdot(-1)=1\neq 0.
Como \det(M)\neq 0, a matriz M é invertível, logo suas colunas são linearmente independentes. Portanto as matrizes A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes em M(2\times2). Pelo item do Passo 2 (temos quatro vetores num espaço de dimensão 4), isso basta para concluir que elas formam uma base.
Observação prática para prova: bastaria também resolver a equação \alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\alpha_3A_3+\alpha_4A_4=0 e ver que só a solução trivial aparece; a eliminação acima é exatamente a versão matricial desse procedimento.]
Resposta
Sim. Essas matrizes formam uma base de M(2\times 2).