1. Seja S=\{u, v, w\} um conjunto Linearmente Independente de vetores de um espaço vetorial V. Os conjuntos abaixo são Linearmente Independentes ou Linearmente Dependentes? (a) \{u+v, u+w, v+w\}
    (b) \{u, u+w, u+v+w\}

Passo 1

O enunciado dá um conjunto \,S=\{u,v,w\}\, que é Linearmente Independente (LI). Pergunta-se, para cada conjunto abaixo, se ele é Linearmente Independente ou Linearmente Dependente:
(a) \{u+v,\;u+w,\;v+w\}
(b) \{u,\;u+w,\;u+v+w\}
Informações relevantes que temos:
  • \,u,v,w\in V e \{u,v,w\} é LI, ou seja, a única combinação linear
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0
que acontece tem que ter \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Cada item da pergunta pede para testar independência de uma pequena coleção de combinações lineares dos vetores u,v,w.

Passo 2

Lembrete prático sobre a definição e o método que vamos usar (aula rápida):
  • Definição: um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_n\} é Linearmente Independente se a única solução do sistema
c_1 x_1 + \cdots + c_n x_n = 0
for c_1=\cdots=c_n=0. Caso exista uma solução não-trivial (algum coeficiente diferente de zero), o conjunto é Linearmente Dependente.
  • Método direto: para cada conjunto testado, escrevemos uma combinação linear arbitrária igual a zero com coeficientes escalares (variáveis), expandimos em função de u,v,w e usamos o fato de que \{u,v,w\} é LI para igualar coeficientes das componentes em u,v,w. Assim obtemos um sistema linear nas variáveis coeficientes; se a única solução for trivial, o conjunto é LI.

Passo 3

Resolver (a). Começamos escrevendo a combinação linear geral igual a zero:
a(u+v) + b(u+w) + c(v+w) = 0,
onde a,b,c são escalares desconhecidos que vamos analisar.

Passo 4

Expandir a combinação do Passo 3 agrupando os termos em u,v,w. Fazendo a distribuiçã0:
a(u+v) + b(u+w) + c(v+w) = (a+b)u + (a+c)v + (b+c)w.

Passo 5

Agora usamos que \{u,v,w\} é LI. A combinação
(a+b)u + (a+c)v + (b+c)w = 0
só pode acontecer se os coeficientes em u,v,w forem todos zero. Portanto obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} a+b = 0,\\[4pt] a+c = 0,\\[4pt] b+c = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema do Passo 5 passo a passo (sem pular etapas).
  • Da primeira equação a+b=0 segue b=-a.
  • Da segunda equação a+c=0 segue c=-a.
  • Substituindo b e c na terceira equação b+c=0 obtemos (-a) + (-a) = -2a = 0.
  • Logo a=0. Assim b=-a=0 e c=-a=0.
Como a única solução é a=b=c=0, a combinação trivial é a única. Conclusão: o conjunto \{u+v,\;u+w,\;v+w\} é Linearmente Independente.

Passo 7

Resolver (b). Escrevemos a combinação linear geral igual a zero:
\alpha\,u + \beta\,(u+w) + \gamma\,(u+v+w) = 0,
onde \alpha,\beta,\gamma são escalares desconhecidos.

Passo 8

Expandir e agrupar termos em u,v,w:
\alpha u + \beta(u+w) + \gamma(u+v+w) = (\alpha+\beta+\gamma)u + \gamma v + (\beta+\gamma)w.

Passo 9

Usando que \{u,v,w\} é LI, os coeficientes das três direções devem ser zero. Obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma = 0,\\[4pt] \gamma = 0,\\[4pt] \beta+\gamma = 0. \end{cases}]

Passo 10

Resolver o sistema do Passo 9 passo a passo.
  • Da segunda equação vem \gamma=0.
  • Substituindo em \beta+\gamma=0 \beta+0=0, logo \beta=0.
  • Substituindo \beta=0 e \gamma=0 na primeira equação \alpha+\beta+\gamma=0 obtemos \alpha+0+0=0, logo \alpha=0.
A única solução é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto o conjunto \{u,\;u+w,\;u+v+w\} também é Linearmente Independente.

Passo 11

Resumo intuitivo (curta explicação para fixar): em ambos os itens, escrevemos uma combinação linear arbitrária igual a zero, reescrevemos em termos de u,v,w e usamos a independência de \{u,v,w\} para transformar o problema numa pequena sistema linear para os coeficientes. Em ambos os casos o sistema só admite a solução trivial, então ambos os conjuntos são LI.

Resposta

(a) Linearmente Independente.
(b) Linearmente Independente.

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