Seja S=\{u, v, w\} um conjunto Linearmente Independente de vetores de um espaço vetorial V. Os conjuntos abaixo são Linearmente Independentes ou Linearmente Dependentes? (a) \{u+v, u+w, v+w\}
(b) \{u, u+w, u+v+w\}
Passo 1
O enunciado dá um conjunto \,S=\{u,v,w\}\, que é Linearmente Independente (LI). Pergunta-se, para cada conjunto abaixo, se ele é Linearmente Independente ou Linearmente Dependente:
(a) \{u+v,\;u+w,\;v+w\}
(b) \{u,\;u+w,\;u+v+w\}
Informações relevantes que temos:
\,u,v,w\in V e \{u,v,w\} é LI, ou seja, a única combinação linear
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0
que acontece tem que ter \alpha=\beta=\gamma=0.
Cada item da pergunta pede para testar independência de uma pequena coleção de combinações lineares dos vetores u,v,w.
Passo 2
Lembrete prático sobre a definição e o método que vamos usar (aula rápida):
Definição: um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_n\} é Linearmente Independente se a única solução do sistema
c_1 x_1 + \cdots + c_n x_n = 0
for c_1=\cdots=c_n=0. Caso exista uma solução não-trivial (algum coeficiente diferente de zero), o conjunto é Linearmente Dependente.
Método direto: para cada conjunto testado, escrevemos uma combinação linear arbitrária igual a zero com coeficientes escalares (variáveis), expandimos em função de u,v,w e usamos o fato de que \{u,v,w\} é LI para igualar coeficientes das componentes em u,v,w. Assim obtemos um sistema linear nas variáveis coeficientes; se a única solução for trivial, o conjunto é LI.
Passo 3
Resolver (a). Começamos escrevendo a combinação linear geral igual a zero:
a(u+v) + b(u+w) + c(v+w) = 0,
onde a,b,c são escalares desconhecidos que vamos analisar.
Passo 4
Expandir a combinação do Passo 3 agrupando os termos em u,v,w. Fazendo a distribuiçã0:
Substituindo em \beta+\gamma=0 dá \beta+0=0, logo \beta=0.
Substituindo \beta=0 e \gamma=0 na primeira equação \alpha+\beta+\gamma=0 obtemos \alpha+0+0=0, logo \alpha=0.
A única solução é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto o conjunto \{u,\;u+w,\;u+v+w\} também é Linearmente Independente.
Passo 11
Resumo intuitivo (curta explicação para fixar): em ambos os itens, escrevemos uma combinação linear arbitrária igual a zero, reescrevemos em termos de u,v,w e usamos a independência de \{u,v,w\} para transformar o problema numa pequena sistema linear para os coeficientes. Em ambos os casos o sistema só admite a solução trivial, então ambos os conjuntos são LI.