Nos itens a seguir, determine
T]_{\beta}^{\alpha}\). \(T: R^{3} \rightarrow R ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=4 \mathrm{x}-\mathrm{y}\) com \(\alpha \mathrm{e} \beta\) bases canônicas do \(\mathrm{R}^{3}\) e R respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar [T]_{\beta}^{\alpha}. As informações dadas são:
T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R},\qquad T(x,y,z)=4x-y.
As bases \alpha e \beta são as bases canônicas de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}, respectivamente. Explicitamente:
\alpha=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},
\beta=\{f_{1}\}=\{(1)\}.
A tarefa é escrever a matriz de T relativa às bases \alpha (do domínio) e \beta (do contradomínio).

Passo 2

Vou explicar o que significa montar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} de forma bem direta e prática. A regra é:
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} [T(e_{1})]_{\beta} & [T(e_{2})]_{\beta} & [T(e_{3})]_{\beta} \end{pmatrix},
ou seja, cada coluna da matriz é o vetor de coordenadas da imagem do respectivo vetor da base \alpha, expresso na base \beta. Aqui e_{1},e_{2},e_{3} são os vetores da base \alpha e [v]_{\beta} significa "coordenadas do vetor v na base \beta".
Dica prática: como \beta é a base canônica de \mathbb{R} (apenas o número 1), a coordenada de um número real a é simplesmente \begin{pmatrix}a\end{pmatrix}. Ou seja, não complica: a imagem de cada e_{i} será um número e esse número entra diretamente como coluna.

Passo 3

Agora calculo as imagens dos vetores da base \alpha.
Primeiro, e_{1}=(1,0,0). Aplicando T:
T(e_{1})=T(1,0,0)=4\cdot 1 - 0 = 4.
Segundo, e_{2}=(0,1,0). Aplicando T:
T(e_{2})=T(0,1,0)=4\cdot 0 - 1 = -1.
Terceiro, e_{3}=(0,0,1). Aplicando T:
T(e_{3})=T(0,0,1)=4\cdot 0 - 0 = 0.

Passo 4

Expressando essas imagens nas coordenadas da base \beta (lembre que \beta=\{1\}), temos:
[T(e_{1})]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\end{pmatrix},\qquad [T(e_{2})]_{\beta}=\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix},\qquad [T(e_{3})]_{\beta}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora monto a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} juntando essas colunas. Como cada coluna é um escalar escrito como vetor coluna em \mathbb{R}, a matriz resultante tem uma linha e três colunas:
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}4 & -1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Verificação rápida e útil para prova: aplicando essa matriz às coordenadas \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} de um vetor em \mathbb{R}^{3} obtemos
\begin{pmatrix}4 & -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=4x-y,
que coincide com a definição de T. Então a matriz está correta.

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}4 & -1 & 0\end{pmatrix}

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