Determine o número de matrizes não semelhantes A em \mathbb{M}_{5}(\mathbb{R}) que verificam (A+I d)^{3}=0.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
O enunciado pede: determinar o número de matrizes não semelhantes A\in\mathbb{M}_{5}(\mathbb{R}) tais que (A+I d)^{3}=0.
Informação dada: (A+I d)^{3}=0. Aqui I d é a identidade 5\times5 (vou escrever simplesmente I), portanto a condição é (A+I)^{3}=0.
Pergunta concreta: quantas classes de similaridade distintas (sobre \mathbb{R}) existem para matrizes A que satisfazem (A+I)^{3}=0.
Passo 2
Transformação conveniente e redução do problema (pegando a ideia do enunciado já dada).
Defina N := A+I. A condição dada vira
N^{3}=0.
Observação importante sobre similaridade: A_1 e A_2 são semelhantes se, e somente se, A_1+I e A_2+I são semelhantes (se A_2 = S^{-1}A_1S então A_2+I = S^{-1}(A_1+I)S). Logo contar classes de similaridade de A com (A+I)^{3}=0 é equivalente a contar classes de similaridade de matrizes N tais que N^{3}=0.
Conclusão do passo: o problema reduz-se a contar as classes de similaridade (sobre \mathbb{R}) de matrizes nilpotentes N\in\mathbb{M}_{5}(\mathbb{R}) com N^{3}=0.
Passo 3
Relembrando a teoria necessária (nilpotentes e forma de Jordan) — aqui explico passo a passo o que precisamos saber.
Definição: uma matriz N é nilpotente se existe k tal que N^{k}=0. O menor k com essa propriedade é chamado índice de nilpotência.
Teorema (forma de Jordan para valor próprio 0): toda matriz nilpotente sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) é semelhante a uma matriz em forma de Jordan composta apenas por blocos de Jordan com autovalor 0. Cada bloco de Jordan é uma matriz de tamanho m da forma
Importante: a classe de similaridade de um nilpotente é totalmente determinada pela partição de n que indica os tamanhos dos blocos de Jordan. Ex.: para n=5, o tipo (3,2) significa um bloco J_3(0) e um bloco J_2(0).
Conexão com índice de nilpotência: o índice de nilpotência de N é exatamente o tamanho do maior bloco de Jordan (porque J_m(0)^m=0 e J_m(0)^{m-1}\neq0).
Portanto, a condição N^{3}=0 equivale a dizer que o maior bloco de Jordan tem tamanho \le 3.
Passo 4
Aplicando tudo a n=5: enumerar os tipos de blocos (partições) possíveis com maior bloco de tamanho \le 3.
Queremos todas as partições do inteiro 5 cujas partes (os tamanhos dos blocos) são apenas 1,2 ou 3 (ou seja, nenhuma parte maior que 3).
Vamos listar sistematicamente as partições de 5 usando apenas 1,2,3:
\,3+2
\,3+1+1
\,2+2+1
\,2+1+1+1
\,1+1+1+1+1
Verificação: outras partições possíveis de 5 são \,5 e \,4+1, mas elas têm partes maiores que 3 (tamanho 5 ou 4), portanto correspondem a nilpotentes de índice 5 ou 4 e não satisfazem N^{3}=0.
Cada uma das cinco partições listadas corresponde a uma classe de similaridade distinta de matrizes nilpotentes N com N^{3}=0. Não há duplicidade: partições diferentes geram formas de Jordan não semelhantes.
Passo 5
Ligando de volta para as matrizes A pedidas e conclusão final.
Para cada classe de nilpotente N com N^{3}=0 existe exatamente a classe correspondente de A=N-I com (A+I)^{3}=0. A adição/subtração de I apenas desloca o autovalor em -1, preservando a similaridade padrão entre matrizes (ou seja, o mapa N\mapsto N-I dá uma bijeção entre classes de similaridade de tais N e classes de A procuradas).
Logo o número de classes de similaridade de matrizes A\in\mathbb{M}_{5}(\mathbb{R}) com (A+I)^{3}=0 é igual ao número de partições de 5 com partes \le 3, que listamos e contamos: são 5.