(2,0 pontos) Determine os focos e a reta diretriz da parábola x=y^{2}. Depois calcule a equaçio da reta tangente à parábola no ponto ( 4,2 ).

Passo 1

O enunciado dá a parábola x=y^{2} e pede duas coisas:
  • Determinar os focos e a reta diretriz da parábola.
  • Calcular a equação da reta tangente à parábola no ponto (4,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação da parábola é \,x=y^{2}.
  • O ponto onde queremos a tangente é (4,2).

Passo 2

Colocar a parábola na forma padrão que conhecemos facilita achar foco e diretriz. A forma padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x (abrindo para a direita) é
y^{2}=4p x,
onde \,p é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para a direita). Vou comparar a equação dada com essa forma padrão. A equação dada é
y^{2}=x.
Comparando com \,y^{2}=4p x, conclui-se que
4p=1 \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{4}.

Passo 3

Agora explico o que significam essas fórmulas geométricas (aqui vai uma mini-aula):
  • Para uma parábola na forma \,y^{2}=4p x, o vértice está em (0,0).
  • O foco está no ponto (p,0).
  • A diretriz é a reta vertical \,x=-p, que está à distância p do vértice no lado oposto ao foco.
Como já encontramos \,p=\dfrac{1}{4}, temos:
  • Foco: \left(\dfrac{1}{4},0\right).
  • Diretriz: x=-\dfrac{1}{4}.

Passo 4

Antes de achar a tangente, vamos checar que o ponto dado realmente pertence à parábola (é boa prática):
Substituindo y=2 em \,x=y^{2} x=2^{2}=4, ou seja o ponto (4,2) está na parábola. Tudo certo para achar a tangente ali.

Passo 5

Agora uma mini-aula sobre derivada e tangente (didática e sem formalismo excessivo):
  • A derivada \dfrac{dy}{dx} em um ponto da curva dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto.
  • Aqui temos a curva dada implicitamente por \,y^{2}=x. Podemos diferenciar ambos os lados em relação a x. Lembrando que y é função de x, então ao derivar y^{2} usamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\frac{dy}{dx}.
Derivando a equação \,y^{2}=x em relação a x obtemos
2y\frac{dy}{dx}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}.
Explicação do resultado: para essa parábola a inclinação da tangente em um ponto depende só de y; quanto maior y, menor a inclinação.

Passo 6

Calcular a inclinação da reta tangente no ponto (4,2): basta substituir y=2 na fórmula da derivada:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(4,2)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da tangente naquele ponto é m=\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive (point-slope): para uma reta com inclinação m passando por (x_{0},y_{0}),
y-y_{0}=m\bigl(x-x_{0}\bigr).
Aqui m=\dfrac{1}{4} e (x_{0},y_{0})=(4,2). Substituindo:
y-2=\frac{1}{4}\bigl(x-4\bigr).
Simplificando:
y-2=\frac{1}{4}x-1 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{4}x+1.
Uma forma alternativa (multiplicando por 4) é x-4y+4=0, que é equivalente.

Resposta

Foco: \left(\dfrac{1}{4},0\right)
Diretriz: x=-\dfrac{1}{4}
Reta tangente em (4,2): y=\dfrac{1}{4}x+1

Exercícios relacionados