(2,0 pontos) Determine os focos e a reta diretriz da parábola x=y^{2}. Depois calcule a equaçio da reta tangente à parábola no ponto ( 4,2 ).
Passo 1
O enunciado dá a parábola x=y^{2} e pede duas coisas:
Determinar os focos e a reta diretriz da parábola.
Calcular a equação da reta tangente à parábola no ponto (4,2).
Informações relevantes fornecidas:
A equação da parábola é \,x=y^{2}.
O ponto onde queremos a tangente é (4,2).
Passo 2
Colocar a parábola na forma padrão que conhecemos facilita achar foco e diretriz. A forma padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x (abrindo para a direita) é
y^{2}=4p x,
onde \,p é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para a direita). Vou comparar a equação dada com essa forma padrão. A equação dada é
y^{2}=x.
Comparando com \,y^{2}=4p x, conclui-se que
4p=1 \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{4}.
Passo 3
Agora explico o que significam essas fórmulas geométricas (aqui vai uma mini-aula):
Para uma parábola na forma \,y^{2}=4p x, o vértice está em (0,0).
O foco está no ponto (p,0).
A diretriz é a reta vertical \,x=-p, que está à distância p do vértice no lado oposto ao foco.
Como já encontramos \,p=\dfrac{1}{4}, temos:
Foco: \left(\dfrac{1}{4},0\right).
Diretriz: x=-\dfrac{1}{4}.
Passo 4
Antes de achar a tangente, vamos checar que o ponto dado realmente pertence à parábola (é boa prática):
Substituindo y=2 em \,x=y^{2} dá x=2^{2}=4, ou seja o ponto (4,2) está na parábola. Tudo certo para achar a tangente ali.
Passo 5
Agora uma mini-aula sobre derivada e tangente (didática e sem formalismo excessivo):
A derivada \dfrac{dy}{dx} em um ponto da curva dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto.
Aqui temos a curva dada implicitamente por \,y^{2}=x. Podemos diferenciar ambos os lados em relação a x. Lembrando que y é função de x, então ao derivar y^{2} usamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\frac{dy}{dx}.
Derivando a equação \,y^{2}=x em relação a x obtemos
2y\frac{dy}{dx}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}.
Explicação do resultado: para essa parábola a inclinação da tangente em um ponto depende só de y; quanto maior y, menor a inclinação.
Passo 6
Calcular a inclinação da reta tangente no ponto (4,2): basta substituir y=2 na fórmula da derivada: