Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n+2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série cujo termo geral é
a_n=\frac{\sqrt{n+1}}{n+2},
e pede para verificar, por algum teste de comparação, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
é convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral a_n é positivo para todo n suficiente grande (de fato para todo n\ge1).
  • Não há outras restrições; precisamos decidir convergência ou divergência usando um teste de comparação.

Passo 2

Vou explicar o teste que vou usar (com calma, tipo conversa entre amigos).
  • Teste da série p (p-series): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Se p\le1, essa série diverge. Isso é um resultado padrão; pense que quanto maior p, os termos caem mais rápido, e precisa cair rápido o suficiente (mais rápido que 1/n) para convergir.
  • Teste da comparação por limite (limit comparison test): se a_n>0 e b_n>0 e o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e é um número finito e positivo (ou seja 0< L <\infty), então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. A ideia é que, se os termos são proporcionalmente comparáveis quando n é grande, os somatórios se comportam igual.
Vou aplicar esses conceitos de forma explícita e passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Escolha do comparador: observo que o numerador é da ordem \sqrt{n} e o denominador é da ordem n. Portanto a_n tem ordem aproximada \dfrac{\sqrt{n}}{n}=n^{-1/2}. Isso sugere comparar com a série p com p=\tfrac{1}{2}, ou seja
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{1/2}}.
Agora calculo o limite do quociente a_n/b_n:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{\sqrt{n+1}}{\,n+2\,}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n+1}\,\sqrt{n}}{n+2}.
Simplifico esse limite dividindo numerador e denominador por n (para ver o comportamento quando n\to\infty):
\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+2} = \frac{n\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}}{n\left(1+\tfrac{2}{n}\right)} = \frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}}{1+\tfrac{2}{n}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Como \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{2}{n}\to0, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0} = 1.
Portanto L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação por limite: como 0< L <\infty (aqui L=1), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Mas a série comparadora é a p-série com p=\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
Pelo teste da série p, como p=\tfrac{1}{2}\le1, essa série diverge. Logo, pela comparação por limite, a série original \sum a_n também diverge.

Passo 5

Resumo intuitivo (pra você levar pra prova): o termo \dfrac{\sqrt{n+1}}{n+2} se comporta como \dfrac{1}{\sqrt{n}} quando n é grande, e como a série \sum 1/\sqrt{n} diverge (p=1/2), a nossa série também diverge. Você pode usar essa estratégia em outras séries: procurar o “termo dominante” e comparar com uma p-série adequada, e então aplicar o teste da comparação por limite.

Resposta

Divergente.

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