Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série cujo termo geral é
e pede para verificar, por algum teste de comparação, se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral
é positivo para todo suficiente grande (de fato para todo ). - Não há outras restrições; precisamos decidir convergência ou divergência usando um teste de comparação.
Passo 2
Vou explicar o teste que vou usar (com calma, tipo conversa entre amigos).
- Teste da série
(p-series): a série
converge se, e somente se,
. Se
, essa série diverge. Isso é um resultado padrão; pense que quanto maior
, os termos caem mais rápido, e precisa cair rápido o suficiente (mais rápido que
) para convergir.
- Teste da comparação por limite (limit comparison test): se
e e o limite
existe e é um número finito e positivo (ou seja
), então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. A ideia é que, se os termos são proporcionalmente comparáveis quando
é grande, os somatórios se comportam igual.
Vou aplicar esses conceitos de forma explícita e passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Escolha do comparador: observo que o numerador é da ordem
e o denominador é da ordem
. Portanto
tem ordem aproximada
. Isso sugere comparar com a série
com
, ou seja
Agora calculo o limite do quociente
:
Simplifico esse limite dividindo numerador e denominador por
(para ver o comportamento quando
):
Agora tomo o limite quando
. Como
e
, obtemos
Portanto
, que é um número finito e positivo.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação por limite: como
(aqui
), as séries
e
têm o mesmo comportamento. Mas a série comparadora é a
-série com
:
Pelo teste da série
, como
, essa série diverge. Logo, pela comparação por limite, a série original
também diverge.
Passo 5
Resumo intuitivo (pra você levar pra prova): o termo
se comporta como
quando
é grande, e como a série
diverge (p=1/2), a nossa série também diverge. Você pode usar essa estratégia em outras séries: procurar o “termo dominante” e comparar com uma
-série adequada, e então aplicar o teste da comparação por limite.
Resposta
Divergente.