Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informação dada e observações imediatas:
- A expressão geral do termo é
. - Os termos
são positivos para todo (numerador e denominador positivos). - Queremos decidir a natureza da série
: converge (soma finita) ou diverge (soma infinita).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Explico o que é esse teste de modo direto e sem formalismo exagerado:
- Seja
e duas sequências positivas. Se existir o limite finito e não nulo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).
- Aqui cada símbolo significa:
é a sequência de termos da série que queremos estudar; é uma sequência de comparação, escolhida de forma que saibamos se converge ou diverge.
Passo 3
Justificação da escolha de
: observe o denominador
. Para
grande,
domina
(a exponencial cresce muito mais rápido que o polinômio). Isso sugere que
tem comportamento semelhante a
pois, informalmente,
e
quando
é grande. Vou usar
como sequência de comparação.
Passo 4
Verificação das hipóteses do teste: ambas as sequências são positivas para
:
Portanto podemos aplicar o Teste da Comparação por Limite se o limite
existir e for finito e positivo.
Passo 5
Calculemos o limite
Passo 6
Simplificação do quociente passo a passo:
Agora observe a segunda fração:
Como
(exponencial domina polinomial), temos
E também
. Portanto, o produto tem limite
Passo 7
Conclusão do teste por limite: o limite é
, que é finito e positivo (
). Pelo Teste da Comparação por Limite, a série
tem o mesmo comportamento da série
. Portanto basta verificar a convergência de
.
Passo 8
Mostrando que
converge. Uma maneira simples é usar o Teste da Razão:
Tomando limite quando
,
Como esse limite é menor que
, o Teste da Razão garante que a série
converge. (Intuição:
é essencialmente uma série do tipo soma de
com
, conhecida por convergir.)
Passo 9
Conclusão final combinando os passos:
converge e o limite
é finito e positivo, então pelo Teste da Comparação por Limite a série
também converge.
Resposta
Convergente.