Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum \frac{n+3}{n+2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{n+2^{n}}
é convergente ou divergente. Informação dada e observações imediatas:
  1. A expressão geral do termo é \displaystyle a_n=\frac{n+3}{n+2^{n}}.
  2. Os termos a_n são positivos para todo n\ge1 (numerador e denominador positivos).
  3. Queremos decidir a natureza da série \sum a_n: converge (soma finita) ou diverge (soma infinita).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Explico o que é esse teste de modo direto e sem formalismo exagerado:
  • Seja \{a_n\} e \{b_n\} duas sequências positivas. Se existir o limite finito e não nulo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\quad\text{com }0<L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).
  • Aqui cada símbolo significa: \{a_n\} é a sequência de termos da série que queremos estudar; \{b_n\} é uma sequência de comparação, escolhida de forma que saibamos se \sum b_n converge ou diverge.

Passo 3

Justificação da escolha de \{b_n\}: observe o denominador n+2^{n}. Para n grande, 2^{n} domina n (a exponencial cresce muito mais rápido que o polinômio). Isso sugere que
a_n=\frac{n+3}{n+2^{n}}
tem comportamento semelhante a
b_n=\frac{n}{2^{n}},
pois, informalmente, n+3\sim n e n+2^{n}\sim 2^{n} quando n é grande. Vou usar \displaystyle b_n=\frac{n}{2^{n}} como sequência de comparação.

Passo 4

Verificação das hipóteses do teste: ambas as sequências são positivas para n\ge1:
a_n>0,\qquad b_n>0.
Portanto podemos aplicar o Teste da Comparação por Limite se o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} existir e for finito e positivo.

Passo 5

Calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n+3}{n+2^{n}}}{\dfrac{n}{2^{n}}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+3}{n+2^{n}}\cdot\frac{2^{n}}{n}\right).

Passo 6

Simplificação do quociente passo a passo:
\frac{n+3}{n}\cdot\frac{2^{n}}{n+2^{n}} = \left(1+\frac{3}{n}\right)\cdot\frac{2^{n}}{n+2^{n}}.
Agora observe a segunda fração:
\frac{2^{n}}{n+2^{n}}=\frac{1}{\dfrac{n}{2^{n}}+1}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^{n}}=0 (exponencial domina polinomial), temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n+2^{n}}=\frac{1}{0+1}=1.
E também \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)=1. Portanto, o produto tem limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\cdot 1 = 1.

Passo 7

Conclusão do teste por limite: o limite é L=1, que é finito e positivo ( 0<L<\infty). Pelo Teste da Comparação por Limite, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento da série \sum b_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}. Portanto basta verificar a convergência de \sum b_n.

Passo 8

Mostrando que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}} converge. Uma maneira simples é usar o Teste da Razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^{n}}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\right)\cdot\frac{1}{2}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Como esse limite é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série \sum b_n converge. (Intuição: \sum b_n é essencialmente uma série do tipo soma de n r^{n} com r=\tfrac12, conhecida por convergir.)

Passo 9

Conclusão final combinando os passos: \sum b_n converge e o limite \lim_{n\to\infty}\tfrac{a_n}{b_n}=1 é finito e positivo, então pelo Teste da Comparação por Limite a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+3}{n+2^{n}}
também converge.

Resposta

Convergente.

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