Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente. \sum_{n=1} \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas que vamos usar:
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
O termo geral é a_n=\dfrac{n+4^{n}}{n+6^{n}}.
A pergunta é única: determinar se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge.
Passo 2
Observação útil e escolha do método:
Para n grande, 4^{n} e 6^{n} dominam as parcelas lineares n. Portanto intuitivamente a_n se comporta como \dfrac{4^{n}}{6^{n}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
Vou formalizar essa ideia usando o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série geométrica
converge (o valor exato não é necessário aqui, só que converge).
Passo 4
Enunciado do teste da comparação por limite (versão que usaremos):
Se a_n>0 e b_n>0 para todo n a partir de algum N e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge.
No nosso caso a_n>0 e b_n>0 para todo n, então basta calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_n/b_n.
Passo 5
Calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.
Começo reescrevendo a_n dividindo numerador e denominador por 6^{n}:
O limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 é finito e positivo.
Já sabemos que \sum b_n=\sum \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} converge.
Portanto, por limit comparison test, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4^{n}}{n+6^{n}} também converge.
Boa! A ideia prática para a prova: reconhecer que os termos exponenciais dominam os polinomiais e usar comparação com uma geométrica.