Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1} \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4^{n}}{n+6^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas que vamos usar:
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n+4^{n}}{n+6^{n}}.
    A pergunta é única: determinar se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge.

Passo 2

Observação útil e escolha do método:
  • Para n grande, 4^{n} e 6^{n} dominam as parcelas lineares n. Portanto intuitivamente a_n se comporta como \dfrac{4^{n}}{6^{n}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
  • Vou formalizar essa ideia usando o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série geométrica
b_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{4^{n}}{6^{n}}.
Escolhi esse método porque é simples, direto e adequado quando termos exponenciais dominam termos polinomiais.

Passo 3

Lembrete rápido sobre a série geométrica:
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1.
  • No nosso caso r=\dfrac{2}{3} e \left|\dfrac{2}{3}\right|<1, logo
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n}
converge (o valor exato não é necessário aqui, só que converge).

Passo 4

Enunciado do teste da comparação por limite (versão que usaremos):
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n a partir de algum N e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge.
No nosso caso a_n>0 e b_n>0 para todo n, então basta calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_n/b_n.

Passo 5

Calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.
Começo reescrevendo a_n dividindo numerador e denominador por 6^{n}:
\frac{n+4^{n}}{n+6^{n}} = \frac{\dfrac{n}{6^{n}}+\left(\dfrac{4}{6}\right)^{n}}{\dfrac{n}{6^{n}}+1} = \frac{\dfrac{n}{6^{n}}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{\dfrac{n}{6^{n}}+1}.
Agora
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n}{6^{n}}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{\left(\dfrac{n}{6^{n}}+1\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} = \frac{\dfrac{n}{6^{n}}\big/\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+1}{\dfrac{n}{6^{n}}+1}.
Calculo a parte \dfrac{\dfrac{n}{6^{n}}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}:
\frac{\dfrac{n}{6^{n}}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} = n\left(\frac{1/6}{2/3}\right)^{n} = n\left(\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}\right)^{n} = n\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.
Logo
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}+1}{\dfrac{n}{6^{n}}+1}.

Passo 6

Avaliar os limites das duas parcelas que aparecem:
  • Mostramos que n\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\to 0 quando n\to\infty. Uma maneira simples: considere s_n=n(1/4)^n. Então
\frac{s_{n+1}}{s_n}=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{4}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{4}<1,
logo s_n\to0.
  • Analogamente \dfrac{n}{6^{n}}\to 0 porque \dfrac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{6}\to\frac{1}{6}<1, então essa sequência também tende a 0.
Com isso,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{0+1}{0+1}=1.

Passo 7

Conclusão pelo teste da comparação por limite:
  • O limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 é finito e positivo.
  • Já sabemos que \sum b_n=\sum \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} converge.
  • Portanto, por limit comparison test, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4^{n}}{n+6^{n}} também converge.
    Boa! A ideia prática para a prova: reconhecer que os termos exponenciais dominam os polinomiais e usar comparação com uma geométrica.

Resposta

A série converge.

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