Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}+2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}+2}
é convergente ou divergente. Informação importante dada: os termos gerais são positivos para todo n. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série.

Passo 2

Ideia de método (sem resolver ainda): como os termos são positivos, um jeito natural é usar um teste de comparação com uma série conhecida. Uma família clássica para comparar é a das p-séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Teorema útil (p-série): a p-série converge se, e somente se, p>1. Para p\le 1 ela diverge. No nosso caso parece que o termo dado se comporta como \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{n^{1/2}}, ou seja, um caso com p=\tfrac{1}{2}<1, portanto a p-série correspondente diverge. Vou transformar essa intuição em uma comparação rigorosa.

Passo 3

Definimos o termo da série dada como
a_n=\frac{2}{\sqrt{n}+2}
e vamos comparar com
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{1/2}}.
Queremos uma desigualdade entre a_n e b_n válida para todo n suficientemente grande. Observe que, para n\ge 4, temos \sqrt{n}\ge 2. Então
\sqrt{n}+2 \le \sqrt{n}+\sqrt{n}=2\sqrt{n}.
Dividindo 2 por ambos os lados (denominadores positivos) obtemos
\frac{2}{\sqrt{n}+2} \ge \frac{2}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Portanto, para todo n\ge 4,
a_n \ge b_n.

Passo 4

Agora usamos o teste de comparação direta: sabemos que a p-série \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge porque é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1. Como para n\ge 4 temos a_n\ge b_n\ge 0, a soma da cauda
\sum_{n=4}^{\infty} a_n
é maior ou igual a
\sum_{n=4}^{\infty} b_n,
que diverge. Logo \sum_{n=4}^{\infty} a_n diverge. Como a soma dos primeiros três termos \sum_{n=1}^{3} a_n é apenas um número finito, a série completa
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
também diverge (somar um número finito não transforma uma série divergente em convergente).

Passo 5

Comentário extra (opcional, para fixar): alternativamente poderíamos usar o teste da comparação limite (limit comparison) com b_n=1/\sqrt{n}. Calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{2}{\sqrt{n}+2}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}+2}=2,
um número finito e positivo, o que também implica que \sum a_n tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) de \sum b_n. Como \sum b_n diverge, concluímos o mesmo para \sum a_n.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados