Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informação importante dada: os termos gerais são positivos para todo
. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série.
Passo 2
Ideia de método (sem resolver ainda): como os termos são positivos, um jeito natural é usar um teste de comparação com uma série conhecida. Uma família clássica para comparar é a das p-séries:
Teorema útil (p-série): a p-série converge se, e somente se,
. Para
ela diverge. No nosso caso parece que o termo dado se comporta como
, ou seja, um caso com
, portanto a p-série correspondente diverge. Vou transformar essa intuição em uma comparação rigorosa.
Passo 3
Definimos o termo da série dada como
e vamos comparar com
Queremos uma desigualdade entre
e
válida para todo
suficientemente grande. Observe que, para
, temos
. Então
Dividindo
por ambos os lados (denominadores positivos) obtemos
Portanto, para todo
,
Passo 4
Agora usamos o teste de comparação direta: sabemos que a p-série
diverge porque é uma p-série com
. Como para
temos
, a soma da cauda
é maior ou igual a
que diverge. Logo
diverge. Como a soma dos primeiros três termos
é apenas um número finito, a série completa
também diverge (somar um número finito não transforma uma série divergente em convergente).
Passo 5
Comentário extra (opcional, para fixar): alternativamente poderíamos usar o teste da comparação limite (limit comparison) com
. Calculando
um número finito e positivo, o que também implica que
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) de
. Como
diverge, concluímos o mesmo para
.
Resposta
A série diverge.