Estude a convergência/divergência, em termos do parâmetro
, de cada série dada a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar, em termos do parâmetro
, a convergência ou divergência da série
Informações dadas relevantes:
- A expressão geral dos termos é
. - O parâmetro
é um número (assumiremos ). - Devemos considerar possíveis problemas quando
para algum (isso torna um termo indefinido).
Passo 2
Verificar domínio (casos em que a série nem sequer está bem definida):
- Se
então existe algum com , ou seja, a série possui um termo com denominador zero e portanto não está definida. Nesses valores de não faz sentido falar em convergência da série (podemos dizer que a série diverge/é inválida porque tem termo indefinido). - A partir de agora consideramos
, ou seja, nenhum denominador é zero.
Passo 3
Verificar se os termos tendem a zero (condição necessária para convergência):
- Considere o módulo dos termos:
- Como
tem-se , logo
Explicação rápida: dividir numerador e denominador por
dá
e como
obtemos limite zero. Portanto a condição necessária (termos tendendo a zero) está satisfeita para todo
que não cause denominador zero.
Passo 4
Aplicar o teste das séries alternadas (Leibniz) para obter convergência condicional:
- O teste de Leibniz diz: se
, decresce (a partir de algum índice) e , então converge. - Aqui podemos tomar
. Para grande (mais precisamente, para tal que ) temos e claramente . Ou seja, a sequência de módulos é decrescente a partir de algum índice (apenas os primeiros termos, se houver, podem ter sinal/valor diferente, mas são finitos). - Como já mostramos em
Passo 5
- Conclusão: para todo
a série converge.
Passo 6
Verificar se a convergência é absoluta ou condicional:
- Considere a série dos módulos
- Use comparação assintótica (teste da comparação limite) com a série harmônica
. Calcule o limite
pois
. Como
diverge, pela comparação limite a série
também diverge.
- Portanto a série original não é absolutamente convergente; a convergência obtida em
Passo 7
Resumo dos casos e observações finais:
- Para
a série não está definida (existe termo com denominador zero), logo não converge. - Para
a série converge, mas não converge absolutamente — ou seja, converge condicionalmente pelo teste de Leibniz aplicado ao termo geral (ou ao seu cauda).
Resposta
Para
: série não está definida (termo com denominador zero), logo não converge.
Para : a série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).
Para