Estude a convergência/divergência, em termos do parâmetro p, de cada série dada a seguir.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n+p}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar, em termos do parâmetro p, a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+p}.
Informações dadas relevantes:
  • A expressão geral dos termos é a_n = (-1)^n\frac{1}{n+p}.
  • O parâmetro p é um número (assumiremos p\in\mathbb{R}).
  • Devemos considerar possíveis problemas quando n+p=0 para algum n (isso torna um termo indefinido).

Passo 2

Verificar domínio (casos em que a série nem sequer está bem definida):
  • Se p\in\{-1,-2,-3,\dots\} então existe algum n\in\mathbb{N} com n+p=0, ou seja, a série possui um termo com denominador zero e portanto não está definida. Nesses valores de p não faz sentido falar em convergência da série (podemos dizer que a série diverge/é inválida porque tem termo indefinido).
  • A partir de agora consideramos p\in\mathbb{R}\setminus\{-1,-2,-3,\dots\}, ou seja, nenhum denominador é zero.

Passo 3

Verificar se os termos tendem a zero (condição necessária para convergência):
  • Considere o módulo dos termos:
|a_n|=\frac{1}{|n+p|}.
  • Como n\to\infty tem-se n+p\sim n, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{|n+p|}=0.
Explicação rápida: dividir numerador e denominador por n \frac{1}{|n+p|}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{|1+p/n|} e como p/n\to0 obtemos limite zero. Portanto a condição necessária (termos tendendo a zero) está satisfeita para todo p que não cause denominador zero.

Passo 4

Aplicar o teste das séries alternadas (Leibniz) para obter convergência condicional:
  • O teste de Leibniz diz: se b_n\ge0, b_n decresce (a partir de algum índice) e b_n\to0, então \sum(-1)^n b_n converge.
  • Aqui podemos tomar b_n=\frac{1}{|n+p|}. Para n grande (mais precisamente, para n tal que n+p>0) temos b_n=\frac{1}{n+p} e claramente b_{n+1}=\frac{1}{n+1+p}<\frac{1}{n+p}=b_n. Ou seja, a sequência de módulos é decrescente a partir de algum índice (apenas os primeiros termos, se houver, podem ter sinal/valor diferente, mas são finitos).
  • Como já mostramos em

Passo 5

  • Conclusão: para todo p\in\mathbb{R}\setminus\{-1,-2,\dots\} a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+p} converge.

Passo 6

Verificar se a convergência é absoluta ou condicional:
  • Considere a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n+p|}.
  • Use comparação assintótica (teste da comparação limite) com a série harmônica \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}. Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{|n+p|}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{|n+p|}=1,
pois |n+p|/n\to1. Como \sum \frac{1}{n} diverge, pela comparação limite a série \sum \frac{1}{|n+p|} também diverge.
  • Portanto a série original não é absolutamente convergente; a convergência obtida em

Passo 7

Resumo dos casos e observações finais:
  • Para p\in\{-1,-2,-3,\dots\} a série não está definida (existe termo com denominador zero), logo não converge.
  • Para p\in\mathbb{R}\setminus\{-1,-2,-3,\dots\} a série converge, mas não converge absolutamente — ou seja, converge condicionalmente pelo teste de Leibniz aplicado ao termo geral (ou ao seu cauda).

Resposta

Para p\in\{-1,-2,-3,\dots\}: série não está definida (termo com denominador zero), logo não converge.
Para p\in\mathbb{R}\setminus\{-1,-2,-3,\dots\}: a série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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