Verifique se os números \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) podem ser cossenos diretores de um vetor.

Passo 1

O enunciado fornece os três números \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right) e pede para verificar se esses números podem ser cossenos diretores de um vetor.
As informações dadas são:
  • Primeiro número: \dfrac{1}{3}.
  • Segundo número: \dfrac{2}{3}.
  • Terceiro número: \dfrac{2}{3}.
    A pergunta é apenas: esses três valores podem ser os cossenos dos ângulos que um vetor faz com os eixos coordenados?

Passo 2

O que significa “cossenos diretores” (explicação didática):
  • Para um vetor não nulo \mathbf{v}=(a,b,c), os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos entre \mathbf{v} e os eixos x,y,z. Denotando-os por l,m,n, tem-se
l=\frac{a}{\|\mathbf{v}\|},\qquad m=\frac{b}{\|\mathbf{v}\|},\qquad n=\frac{c}{\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{v}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} é o comprimento (norma) de \mathbf{v}.
  • Propriedade fundamental: os cossenos diretores satisfazem sempre
l^{2}+m^{2}+n^{2}=1.
Explicando por que: substituindo l,m,n pelas razões acima,
l^{2}+m^{2}+n^{2}=\frac{a^{2}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}+\frac{b^{2}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}+\frac{c^{2}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}=1.
  • Outra condição óbvia: cada cosseno diretor deve pertencer ao intervalo [-1,1], porque é um cosseno de algum ângulo.
Regra prática para a prova: para verificar se três números p,q,r podem ser cossenos diretores basta checar (i) -1\le p,q,r\le 1 e (ii) p^{2}+q^{2}+r^{2}=1. Se quiser construir o vetor correspondente, tome o vetor unitário (p,q,r) — ou qualquer múltiplo escalar dele.

Passo 3

Aplicando as verificações aos números fornecidos. Primeiro verificar que cada valor está em [-1,1]:
-1\le \dfrac{1}{3}\le 1,\qquad -1\le \dfrac{2}{3}\le 1.
Portanto a condição de intervalo é satisfeita.
Agora calcular a soma dos quadrados:
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9} = \dfrac{1+4+4}{9} = \dfrac{9}{9} =1.

Passo 4

Interpretação do cálculo: a soma dos quadrados deu exatamente 1 e cada componente está entre -1 e 1. Logo as duas condições necessárias e suficientes para serem cossenos diretores estão satisfeitas. Além disso, o próprio vetor
\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)
tem norma \sqrt{1}=1, ou seja, é um vetor unitário; portanto suas componentes são exatamente os cossenos diretores dos ângulos que ele faz com os eixos.
Dica extra para prova: se a soma dos quadrados não fosse 1, ainda se poderia “normalizar” qualquer tripla (p,q,r) não nula dividindo por \sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}} para obter cossenos diretores.

Resposta

Sim.

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