Verifique se os números
podem ser cossenos diretores de um vetor.
Passo 1
O enunciado fornece os três números
e pede para verificar se esses números podem ser cossenos diretores de um vetor.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- Primeiro número:
. - Segundo número:
. - Terceiro número:
.
A pergunta é apenas: esses três valores podem ser os cossenos dos ângulos que um vetor faz com os eixos coordenados?
Passo 2
O que significa “cossenos diretores” (explicação didática):
- Para um vetor não nulo
, os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos entre e os eixos . Denotando-os por , tem-se
onde
é o comprimento (norma) de
.
- Propriedade fundamental: os cossenos diretores satisfazem sempre
Explicando por que: substituindo
pelas razões acima,
- Outra condição óbvia: cada cosseno diretor deve pertencer ao intervalo
, porque é um cosseno de algum ângulo.
Regra prática para a prova: para verificar se três números
podem ser cossenos diretores basta checar (i)
e (ii)
. Se quiser construir o vetor correspondente, tome o vetor unitário
— ou qualquer múltiplo escalar dele.
Passo 3
Aplicando as verificações aos números fornecidos. Primeiro verificar que cada valor está em
:
Portanto a condição de intervalo é satisfeita.
Agora calcular a soma dos quadrados:
Passo 4
Interpretação do cálculo: a soma dos quadrados deu exatamente
e cada componente está entre
e
. Logo as duas condições necessárias e suficientes para serem cossenos diretores estão satisfeitas. Além disso, o próprio vetor
tem norma
, ou seja, é um vetor unitário; portanto suas componentes são exatamente os cossenos diretores dos ângulos que ele faz com os eixos.
Dica extra para prova: se a soma dos quadrados não fosse
, ainda se poderia “normalizar” qualquer tripla
não nula dividindo por
para obter cossenos diretores.
Resposta
Sim.