Existe um vetor que forma ângulo de 60^{\circ} com cada um dos eixos coordenados?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um vetor que forma ângulo de 60^\circ com cada um dos eixos coordenados.
Informações do enunciado:
  • O ângulo entre o vetor e cada eixo é 60^\circ.
  • Não foi especificado o número de dimensões do espaço (pode ser \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n, etc.).
    O que se pede: decidir se existe (ou não) um vetor com essa propriedade e, se existir, apresentar um exemplo.

Passo 2

Vamos entender uma ferramenta poderosa para este tipo de pergunta: as cossenas diretas (direction cosines). Se v=(v_1,v_2,\dots,v_n) é um vetor em \mathbb{R}^n e |v| é seu módulo, a definição do cosseno do ângulo entre v e o eixo x_i é
\cos\theta_i=\frac{v_i}{|v|}.
Explicando devagar: v_i é a componente do vetor na direção do eixo x_i. Dividindo pela norma |v| obtemos o cosseno do ângulo entre o vetor e esse eixo (isso vem da definição do produto escalar com o vetor unitário ao longo do eixo).
Agora, somando os quadrados dessas expressões para todos os eixos obtemos
\sum_{i=1}^{n}\cos^2\theta_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{v_i^2}{|v|^2}=\frac{1}{|v|^2}\sum_{i=1}^{n}v_i^2=\frac{|v|^2}{|v|^2}=1.
Portanto a identidade fundamental que sempre vale é
\sum_{i=1}^{n}\cos^2\theta_i=1.
Isso significa: os quadrados das cossenas dos ângulos do vetor com cada eixo somam 1. Guarda essa fórmula — ela resolve o problema direto.

Passo 3

Aplicando ao caso em que todos os ângulos são iguais a 60^\circ. Então para cada i temos
\cos\theta_i=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}.
Substituindo na identidade do passo anterior:
\sum_{i=1}^{n}\cos^2\theta_i=n\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=n\cdot\tfrac{1}{4}=\frac{n}{4}.
Mas essa soma deve ser 1. Portanto precisa valer
\frac{n}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad n=4.
Interpretação imediata: só é possível que um vetor forme ângulo de 60^\circ com cada eixo se o espaço tiver exatamente 4 eixos — isto é, em \mathbb{R}^4. Em \mathbb{R}^3 (o caso mais comum) a soma daria \tfrac{3}{4}, não 1; logo em \mathbb{R}^3 não existe tal vetor. Em \mathbb{R}^2 também não (daría \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}).

Passo 4

Construindo explicitamente um vetor em \mathbb{R}^4 que funciona. Tome
v=(1,1,1,1).
O módulo de v é
|v|=\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}=\sqrt{4}=2.
A componente de v ao longo de cada eixo é 1, então a cosseno do ângulo com qualquer eixo é
\cos\theta=\frac{1}{|v|}=\frac{1}{2},
o que corresponde a \theta=60^\circ. Qualquer múltiplo escalar de v também funciona (por exemplo (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) é o vetor unitário nessa direção).

Passo 5

Resumo da ideia prática para a prova: lembre-se sempre da identidade
\sum_{i=1}^{n}\cos^2\theta_i=1,
onde n é a dimensão do espaço. Se todos os \theta_i são iguais a um mesmo ângulo \theta, isso vira n\cos^2\theta=1. Basta substituir \theta=60^\circ e ver se há um n inteiro positivo que satisfaça — o que deu n=4. Então em provas rápidas, ao ver “ângulo igual com cada eixo”, use imediatamente as cossenas diretas e essa soma.

Resposta

Não, em \mathbb{R}^3 (nem em \mathbb{R}^2) não existe tal vetor.
Sim, em \mathbb{R}^4 existe; por exemplo v=(1,1,1,1) forma 60^\circ com cada eixo.

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