Existe um vetor que forma ângulo de
com cada um dos eixos coordenados?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um vetor que forma ângulo de
com cada um dos eixos coordenados.
Informações do enunciado:
Informações do enunciado:
- O ângulo entre o vetor e cada eixo é
. - Não foi especificado o número de dimensões do espaço (pode ser
, , , etc.).
O que se pede: decidir se existe (ou não) um vetor com essa propriedade e, se existir, apresentar um exemplo.
Passo 2
Vamos entender uma ferramenta poderosa para este tipo de pergunta: as cossenas diretas (direction cosines). Se
é um vetor em
e
é seu módulo, a definição do cosseno do ângulo entre
e o eixo
é
Explicando devagar:
é a componente do vetor na direção do eixo
. Dividindo pela norma
obtemos o cosseno do ângulo entre o vetor e esse eixo (isso vem da definição do produto escalar com o vetor unitário ao longo do eixo).
Agora, somando os quadrados dessas expressões para todos os eixos obtemos
Portanto a identidade fundamental que sempre vale é
Isso significa: os quadrados das cossenas dos ângulos do vetor com cada eixo somam
. Guarda essa fórmula — ela resolve o problema direto.
Passo 3
Aplicando ao caso em que todos os ângulos são iguais a
. Então para cada
temos
Substituindo na identidade do passo anterior:
Mas essa soma deve ser
. Portanto precisa valer
Interpretação imediata: só é possível que um vetor forme ângulo de
com cada eixo se o espaço tiver exatamente
eixos — isto é, em
. Em
(o caso mais comum) a soma daria
, não
; logo em
não existe tal vetor. Em
também não (daría
).
Passo 4
Construindo explicitamente um vetor em
que funciona. Tome
O módulo de
é
A componente de
ao longo de cada eixo é
, então a cosseno do ângulo com qualquer eixo é
o que corresponde a
. Qualquer múltiplo escalar de
também funciona (por exemplo
é o vetor unitário nessa direção).
Passo 5
Resumo da ideia prática para a prova: lembre-se sempre da identidade
onde
é a dimensão do espaço. Se todos os
são iguais a um mesmo ângulo
, isso vira
. Basta substituir
e ver se há um
inteiro positivo que satisfaça — o que deu
. Então em provas rápidas, ao ver “ângulo igual com cada eixo”, use imediatamente as cossenas diretas e essa soma.
Resposta
Não, em
(nem em
) não existe tal vetor.
Sim, em existe; por exemplo
forma
com cada eixo.
Sim, em