Determine um vetor unitário cujos cossenos diretores são iguais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar um vetor unitário cujos cossenos diretores são iguais.
Informações relevantes dadas:
- É pedido um vetor unitário, isto é, um vetor
com norma . - Os cossenos diretores (as razões entre cada componente do vetor e a sua norma) são todos iguais entre si.
Passo 2
Entender o que são cossenos diretores e como usá-los aqui.
Definição prática: para um vetor
não nulo, os cossenos diretores são
onde
são os ângulos que
faz com os eixos
respectivamente.
No nosso caso o vetor pedido é unitário, logo
. Isso simplifica muito: para um vetor unitário, cada componente é igual ao respectivo cosseno diretor. Então se os cossenos diretores são iguais entre si, as componentes do vetor unitário também serão todas iguais.
Passo 3
Formalizar a ideia: escrevemos o vetor unitário procurado na forma
onde
é a comum medida dos cossenos diretores (e também a componente do vetor, por ser unitário). Agora aplicamos a condição de norma unitária:
Passo 4
Resolver para
. A equação
dá
Portanto existem duas possibilidades:
positivo ou
negativo. Geometricamente isso corresponde ao vetor apontando ao longo da diagonal principal do cubo ou na direção oposta.
Passo 5
Escrever explicitamente os vetores e checar rapidamente a norma.
Para
:
e a norma ao quadrado é
Para
:
e a norma também é
porque o quadrado anula o sinal.
Observação prática: se for preciso o ângulo que cada componente forma com os eixos, o cosseno é
, então o ângulo é
.