Determine um vetor unitário cujos cossenos diretores são iguais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar um vetor unitário cujos cossenos diretores são iguais.
Informações relevantes dadas:
  • É pedido um vetor unitário, isto é, um vetor \vec{u} com norma \|\vec{u}\|=1.
  • Os cossenos diretores (as razões entre cada componente do vetor e a sua norma) são todos iguais entre si.

Passo 2

Entender o que são cossenos diretores e como usá-los aqui.
Definição prática: para um vetor \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) não nulo, os cossenos diretores são
\ell=\cos\alpha=\frac{u_x}{\|\vec{u}\|},\qquad m=\cos\beta=\frac{u_y}{\|\vec{u}\|},\qquad n=\cos\gamma=\frac{u_z}{\|\vec{u}\|},
onde \alpha,\beta,\gamma são os ângulos que \vec{u} faz com os eixos x,y,z respectivamente.
No nosso caso o vetor pedido é unitário, logo \|\vec{u}\|=1. Isso simplifica muito: para um vetor unitário, cada componente é igual ao respectivo cosseno diretor. Então se os cossenos diretores são iguais entre si, as componentes do vetor unitário também serão todas iguais.

Passo 3

Formalizar a ideia: escrevemos o vetor unitário procurado na forma
\vec{u}=(t,t,t),
onde t é a comum medida dos cossenos diretores (e também a componente do vetor, por ser unitário). Agora aplicamos a condição de norma unitária:
\|\vec{u}\|^2 = t^2+t^2+t^2 = 3t^2 = 1.

Passo 4

Resolver para t. A equação 3t^2=1
t^2=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto existem duas possibilidades: t positivo ou t negativo. Geometricamente isso corresponde ao vetor apontando ao longo da diagonal principal do cubo ou na direção oposta.

Passo 5

Escrever explicitamente os vetores e checar rapidamente a norma.
Para t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}:
\vec{u}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right),
e a norma ao quadrado é
\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1.
Para t=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}:
\vec{u}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right),
e a norma também é 1 porque o quadrado anula o sinal.
Observação prática: se for preciso o ângulo que cada componente forma com os eixos, o cosseno é \dfrac{1}{\sqrt{3}}, então o ângulo é \alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 54{,}74^\circ.

Resposta

\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)
\displaystyle \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

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