Determine todos os vetores unitários cujos cossenos diretores satisfazem:
Passo 1
O enunciado dá que um vetor unitário tem cossenos diretores
e impõe a condição
O que o problema pede é: determinar todos os vetores unitários cujas três componentes (os cossenos diretores) satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- As componentes do vetor são
. - O vetor é unitário, portanto as componentes satisfazem
. - A condição adicional é
.
Passo 2
Vamos usar uma notação mais simples: defina
Como o vetor é unitário, temos a restrição de norma
e a condição do problema fica
Portanto procuramos todos os tripletos
que satisfazem simultaneamente essas duas equações.
Passo 3
Interpretação geométrica (muito útil): pense em
como as coordenadas de um vetor
. A equação
é a esfera unidade
. A equação
é um plano passando pela origem (o plano com normal
). A interseção da esfera unidade com esse plano é um círculo (um “grande círculo”, porque o plano passa pela origem). Logo a solução é exatamente o conjunto de todos os vetores unitários que estão contidos no plano
, ou seja, todos os vetores unitários ortogonais ao vetor
.
Passo 4
Agora vamos construir uma descrição paramétrica concreta desse círculo (isso ajuda muito na hora da prova). Primeiro escolhemos duas direções ortonormais no plano
. Uma escolha conveniente é:
Verificações rápidas:
- Soma das componentes de
: , logo está no plano. - Soma das componentes de
: , logo está no plano. - Norma de
: . - Norma de
: . - Produto interno:
.
Portantoé uma base ortonormal do plano .
Passo 5
Qualquer vetor unitário
do plano pode ser escrito como combinação linear unitária de
e
:
Substituindo
e
obtemos a parametrização explícita das componentes (os cossenos diretores):
Se quiser escrever componente a componente:
É fácil checar que
para todo
e que
, porque
são ortonormais.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova: a condição
diz exatamente que o vetor é ortogonal a
. Juntando com a condição de ser unitário, a solução é o círculo unitário formado por todos os vetores de norma
no plano
. Na prova, em vez de ficar manipulando muitos termos, basta notar a equivalência:
e, se precisar, apresentar a parametrização trigonométrica dada acima.
Resposta
Todos os vetores unitários
tais que
Equivalently,