Determine todos os vetores unitários cujos cossenos diretores satisfazem:
\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=0

Passo 1

O enunciado dá que um vetor unitário tem cossenos diretores \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma e impõe a condição
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0.
O que o problema pede é: determinar todos os vetores unitários cujas três componentes (os cossenos diretores) satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes do vetor são \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma.
  • O vetor é unitário, portanto as componentes satisfazem \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.
  • A condição adicional é \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0.

Passo 2

Vamos usar uma notação mais simples: defina
\ell=\cos\alpha,\quad m=\cos\beta,\quad n=\cos\gamma.
Como o vetor é unitário, temos a restrição de norma
\ell^2+m^2+n^2=1,
e a condição do problema fica
\ell+m+n=0.
Portanto procuramos todos os tripletos (\ell,m,n) que satisfazem simultaneamente essas duas equações.

Passo 3

Interpretação geométrica (muito útil): pense em (\ell,m,n) como as coordenadas de um vetor \mathbf{u}\in\mathbb{R}^3. A equação
\ell^2+m^2+n^2=1
é a esfera unidade \mathbb{S}^2. A equação
\ell+m+n=0
é um plano passando pela origem (o plano com normal (1,1,1)). A interseção da esfera unidade com esse plano é um círculo (um “grande círculo”, porque o plano passa pela origem). Logo a solução é exatamente o conjunto de todos os vetores unitários que estão contidos no plano \ell+m+n=0, ou seja, todos os vetores unitários ortogonais ao vetor (1,1,1).

Passo 4

Agora vamos construir uma descrição paramétrica concreta desse círculo (isso ajuda muito na hora da prova). Primeiro escolhemos duas direções ortonormais no plano \ell+m+n=0. Uma escolha conveniente é:
\mathbf{v}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \qquad \mathbf{v}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).
Verificações rápidas:
  • Soma das componentes de \mathbf{v}_1: 1+(-1)+0=0, logo \mathbf{v}_1 está no plano.
  • Soma das componentes de \mathbf{v}_2: 1+1+(-2)=0, logo \mathbf{v}_2 está no plano.
  • Norma de \mathbf{v}_1: \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}/\sqrt{2}=1.
  • Norma de \mathbf{v}_2: \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}/\sqrt{6}=1.
  • Produto interno: \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=\dfrac{1\cdot1+(-1)\cdot1+0\cdot(-2)}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=0.
    Portanto \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é uma base ortonormal do plano \ell+m+n=0.

Passo 5

Qualquer vetor unitário \mathbf{u} do plano pode ser escrito como combinação linear unitária de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2:
\mathbf{u}(\theta)=\cos\theta\,\mathbf{v}_1+\sin\theta\,\mathbf{v}_2,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Substituindo \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 obtemos a parametrização explícita das componentes (os cossenos diretores):
\mathbf{u}(\theta) = \cos\theta\frac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}} + \sin\theta\frac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}.
Se quiser escrever componente a componente:
\ell(\theta)=\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{\sin\theta}{\sqrt{6}},
m(\theta)=-\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{\sin\theta}{\sqrt{6}},
n(\theta)=-\frac{2\sin\theta}{\sqrt{6}}.
É fácil checar que \ell(\theta)+m(\theta)+n(\theta)=0 para todo \theta e que \ell(\theta)^2+m(\theta)^2+n(\theta)^2=1, porque \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 são ortonormais.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova: a condição \ell+m+n=0 diz exatamente que o vetor é ortogonal a (1,1,1). Juntando com a condição de ser unitário, a solução é o círculo unitário formado por todos os vetores de norma 1 no plano \ell+m+n=0. Na prova, em vez de ficar manipulando muitos termos, basta notar a equivalência:
\{\text{soluções}\}=\{\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3:\\ \|\mathbf{u}\|=1,\\ \mathbf{u}\cdot(1,1,1)=0\},çõ
e, se precisar, apresentar a parametrização trigonométrica dada acima.

Resposta

Todos os vetores unitários \mathbf{u}\in\mathbb{R}^3 tais que
\mathbf{u}\cdot(1,1,1)=0.
Equivalently,
\mathbf{u}(\theta)=\cos\theta\frac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}+\sin\theta\frac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}},\qquad \theta\in[0,2\pi).

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