Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
f(x, y)=y ln x-xy

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x,y)=yln x-xy
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e para resolver precisamos (1) achar o domínio de definição, (2) calcular as derivadas parciais em cada ponto desse domínio e (3) verificar se elas são contínuas.

Passo 2

Determinamos o domínio de f observando as duas operações:
  1. O ln x exige x>0.
  2. A divisão por y exige yneq0.
    Logo o domínio é
D=(x,y)mid x>0,;yneq0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em qualquer (x,y)in D.
Para partial f/partial x temos
partialpartial xl(yln xr) =ycdot1x e partialpartial xl(-xyr) =-1y,
portanto
partial fpartial x =yx-1y
Para partial f/partial y temos
partialpartial yl(yln xr) =ln x e partialpartial yl(-xyr) =-xcdotl(-tfrac1y^2r) =xy^2,
logo
partial fpartial y =ln x+xy^2

Passo 4

Observamos que tfracyx, tfrac1y, ln x e tfracxy^2 são funções elementares que são contínuas em todo ponto de D. Como as derivadas parciais existem e são combinações dessas funções contínuas, concluímos que elas próprias são contínuas em D.

Passo 5

Pelo critério de diferenciabilidade em várias variáveis, se as derivadas parciais existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável ali. Como isso vale para todo (x,y)in D, f é diferenciável em todo D.

Resposta

A função f(x,y)=yln x-xy é diferenciável em
(x,y)mid x>0,;yneq0

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