Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
4.1
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e para resolver precisamos (1) achar o domínio de definição, (2) calcular as derivadas parciais em cada ponto desse domínio e (3) verificar se elas são contínuas.
Passo 2
Determinamos o domínio de
observando as duas operações:
- O
exige . - A divisão por
exige .
Logo o domínio é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais em qualquer
.
Para temos
Para
portanto
Para
temos
logo
Passo 4
Observamos que
,
,
e
são funções elementares que são contínuas em todo ponto de
. Como as derivadas parciais existem e são combinações dessas funções contínuas, concluímos que elas próprias são contínuas em
.
Passo 5
Pelo critério de diferenciabilidade em várias variáveis, se as derivadas parciais existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável ali. Como isso vale para todo
,
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em