Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
4.1
Passo 1
O enunciado pede para verificar onde a função
é diferenciável. O conteúdo usado aqui é que soma e composição de funções diferenciáveis continuam diferenciáveis, desde que cada termo seja definido e tenha derivadas parciais contínuas.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio de
. A parte
está definida para todo
, mas o termo
exige que
. Portanto,
Passo 3
Analisamos
. A função
é
para todo
. Como
é uma função linear diferenciável, a composição
é
em todo
.
Passo 4
Agora olhamos para
. A função
é
para
. Tomando
, que é linear, a composição
é
sempre que
, ou seja, em
.
Passo 5
Como
é soma de duas funções
em
, segue que
é
(portanto diferenciável) em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em