Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
h(x, y)=tan ^-1(x+y)+1x-y

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde a função
h(x,y)=tan^-1(x+y)+1x-y
é diferenciável. O conteúdo usado aqui é que soma e composição de funções diferenciáveis continuam diferenciáveis, desde que cada termo seja definido e tenha derivadas parciais contínuas.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de h. A parte tan^-1(x+y) está definida para todo (x,y)inR^2, mas o termo 1x-y exige que x-yneq0. Portanto,
Dom(h)=(x,y)inR^2mid xneq y

Passo 3

Analisamos tan^-1(x+y). A função tan^-1(u) é C^infty para todo uinR. Como u=x+y é uma função linear diferenciável, a composição
(x,y)mapsto tan^-1(x+y)
é C^infty em todo R^2.

Passo 4

Agora olhamos para 1x-y. A função g(u)=1/u é C^infty para uneq0. Tomando u=x-y, que é linear, a composição
(x,y)mapsto 1x-y
é C^infty sempre que x-yneq0, ou seja, em R^2setminusx=y.

Passo 5

Como h é soma de duas funções C^infty em xneq y, segue que h é C^1 (portanto diferenciável) em todo o seu domínio.

Resposta

A função h é diferenciável em
(x,y)inR^2mid xneq y

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