Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
f(x, y)=e^2 x sin y+e^-2 x cos y

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde a função
f(x,y)=e^2xsin y+e^-2xcos y
é diferenciável. O conteúdo envolvido é a diferenciabilidade de funções de duas variáveis: usaremos o fato de que, se as derivadas parciais existem em um ponto e são contínuas num entorno desse ponto, então a função é diferenciável ali (teorema de classe C^1).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(e^2xsin yr) +partialpartial xl(e^-2xcos yr) =2e^2xsin y-2e^-2xcos y
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(e^2xsin yr) +partialpartial yl(e^-2xcos yr) =e^2xcos y - e^-2xsin y

Passo 3

Observe que partial f/partial x e partial f/partial y são combinações de funções exponenciais e trigonométricas, todas elas contínuas em R. Logo, essas derivadas parciais são contínuas em todo R^2. Pelo critério de diferenciabilidade de funções de classe C^1, concluímos que f é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função f(x,y)=e^2xsin y+e^-2xcos y é diferenciável para todo (x,y)inR^2.

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