Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.2
No ponto P(0,0)
f(x, y)= x^2 yx^4+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função
f(x,y)= dfracx^2yx^4+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
é diferenciável no ponto P=(0,0). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e usaremos que diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto.

Passo 2

Se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos em particular que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0. Logo, basta mostrar que esse limite não existe (ou não é zero) para concluir que f não é diferenciável.

Passo 3

Vamos aproximar (x,y)to(0,0) pela curva y=x^2. Para xneq0,
f(x,x^2) =x^2,(x^2)x^4+(x^2)^2 =x^42,x^4 =12
Portanto
limxto0f(x,x^2)=12neq0.

Passo 4

Como ao longo de y=x^2 o limite de f(x,y) é tfrac12 e não coincide com f(0,0)=0, a função não é contínua em (0,0). Logo, f não pode ser diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f não é diferenciável no ponto P(0,0).

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