Verifique se o operador diferencial dado anula as funções indicadas:
Passo 1
O enunciado dá o operador diferencial
e a função
.
A pergunta é: verificar se o operador anula a função indicada — isto é, verificar se, ao aplicar o operador em , o resultado é a função zero para todo
.
A pergunta é: verificar se o operador anula a função indicada — isto é, verificar se, ao aplicar o operador em
Passo 2
Vamos esclarecer conceitos básicos que vamos usar (calma, é tranquilo):
-
significa derivada em relação a , ou seja . - Um operador linear
anula quando (a função identicamente nula). - Esses operadores são lineares: para quaisquer funções
e constante vale e . Isso permite tratar cada termo da soma separadamente. - O operador dado está fatorado:
significa aplicar primeiro e depois ao resultado (ou equivalente, expandir para e aplicar).
Passo 3
Uma propriedade muito útil (e fácil de usar na prova) é que expoenciais são “autofunções” da derivada: para qualquer constante
,
Explicando rapidinho:
pela regra da cadeia. Isso significa que
é um “autovalor” da derivada com autovalor
.
Passo 4
Aplicando
ao primeiro termo
:
Passo 5
Agora aplicamos
ao resultado
. Usando linearidade (a constante 7 sai):
Portanto a parte correspondente a
é anulada pelo operador composto
.
Passo 6
Agora o segundo termo
. Primeiro aplicamos
:
Como isso já dá zero, aplicar depois
a esse zero continua dando zero. Multiplicar por
também dá zero:
Passo 7
Pelo princípio da linearidade, aplicando o operador à soma
obtemos a soma dos resultados nos passos anteriores, ambos zeros. Logo
Isso significa que o operador anula
.