Verifique se o operador diferencial dado anula as funções indicadas:
(D-2)(D+5) ; y=e^{2 x}+3 e^{-5 x}

Passo 1

O enunciado dá o operador diferencial (D-2)(D+5) e a função y = e^{2x} + 3 e^{-5x}.
A pergunta é: verificar se o operador anula a função indicada — isto é, verificar se, ao aplicar o operador em y, o resultado é a função zero para todo x.

Passo 2

Vamos esclarecer conceitos básicos que vamos usar (calma, é tranquilo):
  • D significa derivada em relação a x, ou seja D[f]=\dfrac{d}{dx}f.
  • Um operador linear L anula y quando L[y]=0 (a função identicamente nula).
  • Esses operadores são lineares: para quaisquer funções u,v e constante c vale L[u+v]=L[u]+L[v] e L[c\,u]=c\,L[u]. Isso permite tratar cada termo da soma separadamente.
  • O operador dado está fatorado: (D-2)(D+5) significa aplicar primeiro (D+5) e depois (D-2) ao resultado (ou equivalente, expandir para D^2+3D-10 e aplicar).

Passo 3

Uma propriedade muito útil (e fácil de usar na prova) é que expoenciais são “autofunções” da derivada: para qualquer constante a,
D\bigl(e^{a x}\bigr)=a\,e^{a x}.
Explicando rapidinho: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax} pela regra da cadeia. Isso significa que e^{a x} é um “autovalor” da derivada com autovalor a.

Passo 4

Aplicando (D+5) ao primeiro termo e^{2x}:
(D+5)\bigl(e^{2x}\bigr)=D\bigl(e^{2x}\bigr)+5e^{2x}=2e^{2x}+5e^{2x}=7e^{2x}.

Passo 5

Agora aplicamos (D-2) ao resultado 7e^{2x}. Usando linearidade (a constante 7 sai):
(D-2)\bigl(7e^{2x}\bigr)=7\bigl(D(e^{2x})-2e^{2x}\bigr)=7\bigl(2e^{2x}-2e^{2x}\bigr)=7\cdot 0=0.
Portanto a parte correspondente a e^{2x} é anulada pelo operador composto (D-2)(D+5).

Passo 6

Agora o segundo termo 3e^{-5x}. Primeiro aplicamos (D+5):
(D+5)\bigl(e^{-5x}\bigr)=D\bigl(e^{-5x}\bigr)+5e^{-5x}=(-5)e^{-5x}+5e^{-5x}=0.
Como isso já dá zero, aplicar depois (D-2) a esse zero continua dando zero. Multiplicar por 3 também dá zero:
(D-2)(D+5)\bigl(3e^{-5x}\bigr)=3\cdot (D-2)\bigl((D+5)e^{-5x}\bigr)=3\cdot (D-2)[0]=3\cdot 0=0.

Passo 7

Pelo princípio da linearidade, aplicando o operador à soma y=e^{2x}+3e^{-5x} obtemos a soma dos resultados nos passos anteriores, ambos zeros. Logo
(D-2)(D+5)[y]=0+0=0.
Isso significa que o operador anula y.

Resposta

(D-2)(D+5)\,y = 0

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