Seja P(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais. Mostre que os subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes \left\{1,1+x, 1+x+x^{2}, 1+x+x^{2}+x^{3}\right\}
Passo 1
O enunciado está no contexto de espaços vetoriais: em P(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com coeficientes reais, queremos mostrar que o conjunto \{\,1,\;1+x,\;1+x+x^{2},\;1+x+x^{2}+x^{3}\}
é linearmente independente. Para isso vamos usar a definição: um conjunto de vetores em P(\mathbb{R}) é independente se a única combinação linear que dá o polinômio nulo é a trivial (todos os coeficientes zero).
Passo 2
Suponha uma combinação linear genérica desses quatro polinômios igual a zero:
onde \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}. Como sabemos, um polinômio é o polinômio nulo se e somente se todos os seus coeficientes (nos monômios 1,x,x^2,x^3) são zero.
Passo 3
Vamos agrupar pela potência de x e igualar cada coeficiente a zero. Obtemos o sistema