Seja P(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais. Mostre que os subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\left\{1,1+x, 1+x+x^{2}, 1+x+x^{2}+x^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado está no contexto de espaços vetoriais: em P(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com coeficientes reais, queremos mostrar que o conjunto
\{\,1,\;1+x,\;1+x+x^{2},\;1+x+x^{2}+x^{3}\}
é linearmente independente. Para isso vamos usar a definição: um conjunto de vetores em P(\mathbb{R}) é independente se a única combinação linear que dá o polinômio nulo é a trivial (todos os coeficientes zero).

Passo 2

Suponha uma combinação linear genérica desses quatro polinômios igual a zero:
\alpha\cdot 1 \;+\;\beta\,(1+x)\;+\;\gamma\,(1+x+x^{2})\;+\;\delta\,(1+x+x^{2}+x^{3}) \;=\;0,
onde \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}. Como sabemos, um polinômio é o polinômio nulo se e somente se todos os seus coeficientes (nos monômios 1,x,x^2,x^3) são zero.

Passo 3

Vamos agrupar pela potência de x e igualar cada coeficiente a zero. Obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma + \delta = 0,\\\ \beta + \gamma + \delta = 0,\\\ \gamma + \delta = 0,\\\ \delta = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo de baixo para cima:
  • Da última equação vem \delta=0.
  • Substituindo em \gamma+\delta=0 \gamma+0=0, logo \gamma=0.
  • Em \beta+\gamma+\delta=0 fica \beta+0+0=0, logo \beta=0.
  • Finalmente, em \alpha+\beta+\gamma+\delta=0 obtemos \alpha+0+0+0=0, logo \alpha=0.

Passo 5

Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=\delta=0, a combinação linear trivial é a única que gera o polinômio nulo.

Resposta

O conjunto \{1,\;1+x,\;1+x+x^{2},\;1+x+x^{2}+x^{3}\} é linearmente independente em P(\mathbb{R}).

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