Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, mostre que:
f(z)=\sqrt{r}\left[\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+i \operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right] é analítica no domínio A=\{z= \left.(r, \theta) \in \mathbb{C} ; r>0,-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right\} e sua derivada é dada por f^{\prime}(z)=\frac{1}{2 f(z)}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\sqrt{r}\Big[\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)+i\,\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\Big]
no sistema polar, e o domínio
A=\{z=(r,\theta)\in\mathbb{C} \mid r>0,\; -\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{\pi}{2}\}.
O que é pedido:
  • Mostrar que f é analítica em A.
  • Mostrar que a derivada complexa de f é
f'(z)=\frac{1}{2f(z)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita em função de r e \theta.
  • O domínio evita r=0 e limita \theta a (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), garantindo uma escolha contínua do argumento (ou seja, evita salto de ramo do ângulo).
    Nenhuma outra informação extra foi fornecida.

Passo 2

Escrevemos f separando parte real u(r,\theta) e imaginária v(r,\theta). É conveniente também reconhecer a forma exponencial:
f(r,\theta)=r^{1/2}\big(\cos(\tfrac{\theta}{2})+i\operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2})\big)=r^{1/2}e^{i\theta/2}.
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u(r,\theta)=r^{1/2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big),\qquad v(r,\theta)=r^{1/2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais primeiras em r e \theta. Usa-se a regra do produto e cadeia, lembrando que \frac{\partial}{\partial r}r^{1/2}=\tfrac{1}{2}r^{-1/2} e \frac{\partial}{\partial\theta}\cos(\tfrac{\theta}{2})=-\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2}), \frac{\partial}{\partial\theta}\operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2})=\tfrac{1}{2}\cos(\tfrac{\theta}{2}).
Assim:
u_r=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big), \qquad u_\theta=r^{1/2}\cdot\Big(-\frac{1}{2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\Big)=-\frac{1}{2}r^{1/2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big),
v_r=\frac{1}{2}r^{-1/2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big), \qquad v_\theta=r^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)=\frac{1}{2}r^{1/2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big).

Passo 4

As Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (para funções u(r,\theta), v(r,\theta)) são:
u_r=\frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r=-\frac{1}{r}u_\theta.
Agora verificamos cada uma usando as derivadas do Passo 3.
Calcule \frac{1}{r}v_\theta:
\frac{1}{r}v_\theta=\frac{1}{r}\cdot\frac{1}{2}r^{1/2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big),
que coincide com u_r. Em seguida calcule -\frac{1}{r}u_\theta:
-\frac{1}{r}u_\theta=-\frac{1}{r}\cdot\Big(-\frac{1}{2}r^{1/2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\Big)=\frac{1}{2}r^{-1/2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big),
que coincide com v_r.
Portanto as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas ponto a ponto em A.

Passo 5

Para concluir analiticidade precisamos que u e v tenham derivadas parciais contínuas em A e que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Observa-se que as expressões de u_r,u_\theta,v_r,v_\theta obtidas no Passo 3 são funções contínuas em A (porque r>0 e \theta está num intervalo aberto que evita descontinuidade do fator \theta/2). Assim as hipóteses do teorema de Cauchy–Riemann (em coordenadas polares) são satisfeitas e concluímos que f é analítica em A.
Comentário intuitivo/amigável: a restrição em \theta evita que o fator e^{i\theta/2} sofra saltos de ramo; assim f é bem comportada e diferenciável complexamente em todo o domínio.

Passo 6

Vamos calcular f'(z). Uma forma prática de obter a derivada em coordenadas polares é fixar \theta e variar r: se \Delta\theta=0 então \Delta z=e^{i\theta}\Delta r, e
\frac{f(r+\Delta r,\theta)-f(r,\theta)}{\Delta z} = \frac{u_r+i v_r + o(1)}{e^{i\theta}},
quando \Delta r\to 0. Assim, usando que o limite é independente da direção (pela analiticidade) obtemos a fórmula conveniente
f'(z)=e^{-i\theta}\big(u_r+i v_r\big).
(Argumento curto: a derivada complexa pode ser obtida tomando a derivada direcional na direção radial e multiplicando por e^{-i\theta}; as CR garantem que o resultado independe da direção escolhida.)

Passo 7

Calcule u_r+i v_r com as expressões do Passo 3:
u_r+i v_r=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)+i\frac{1}{2}r^{-1/2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big) =\frac{1}{2}r^{-1/2}\Big(\cos\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)+i\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\Big).
Mas \cos(\tfrac{\theta}{2})+i\operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2})=e^{i\theta/2}, e f(r,\theta)=r^{1/2}e^{i\theta/2}. Portanto
u_r+i v_r=\frac{1}{2}r^{-1/2}e^{i\theta/2}=\frac{1}{2}\,r^{-1} \big(r^{1/2}e^{i\theta/2}\big)=\frac{1}{2}\,r^{-1}f(r,\theta).
Aplicando a fórmula do Passo 6:
f'(z)=e^{-i\theta}\big(u_r+i v_r\big)=e^{-i\theta}\cdot\frac{1}{2}r^{-1}f(r,\theta).
Substituindo f(r,\theta)=r^{1/2}e^{i\theta/2}
f'(z)=\frac{1}{2}r^{-1}\,e^{-i\theta}\,r^{1/2}e^{i\theta/2} =\frac{1}{2}r^{-1/2}e^{-i\theta/2}.
Agora compare com \dfrac{1}{2f(z)}:
\frac{1}{2f(z)}=\frac{1}{2\big(r^{1/2}e^{i\theta/2}\big)}=\frac{1}{2}r^{-1/2}e^{-i\theta/2}.
Portanto
f'(z)=\frac{1}{2f(z)}.

Passo 8

Breve observação final e motivacional: a função dada é essencialmente a raiz quadrada principal f(z)=\sqrt{z} escrita em coordenadas polares com escolha de ramo \theta\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). É sabido que a raiz quadrada é analítica em qualquer domínio simplesmente conexo que não contenha a origem e em que se escolha um ramo contínuo do argumento; aqui o domínio A é um desses domínios e o cálculo direto pelas equações de Cauchy–Riemann em polares confirma o fato. A derivada f'(z)=\tfrac{1}{2\sqrt{z}}=\tfrac{1}{2f(z)} é a fórmula clássica para a derivada da raiz quadrada.

Resposta

f é analítica em A.
f'(z)=\dfrac{1}{2f(z)}.

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