Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, mostre que:
é analítica no domínio
e sua derivada é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a função
no sistema polar, e o domínio
O que é pedido:
- Mostrar que
é analítica em . - Mostrar que a derivada complexa de
é
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita em função de
e . - O domínio evita
e limita a , garantindo uma escolha contínua do argumento (ou seja, evita salto de ramo do ângulo).
Nenhuma outra informação extra foi fornecida.
Passo 2
Escrevemos
separando parte real
e imaginária
. É conveniente também reconhecer a forma exponencial:
Logo
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais primeiras em
e
. Usa-se a regra do produto e cadeia, lembrando que
e
,
.
Assim:
Assim:
Passo 4
As Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (para funções
,
) são:
Agora verificamos cada uma usando as derivadas do Passo 3.
Calcule
:
que coincide com
. Em seguida calcule
:
que coincide com
.
Portanto as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas ponto a ponto em .
Portanto as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas ponto a ponto em
Passo 5
Para concluir analiticidade precisamos que
e
tenham derivadas parciais contínuas em
e que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Observa-se que as expressões de
obtidas no Passo 3 são funções contínuas em
(porque
e
está num intervalo aberto que evita descontinuidade do fator
). Assim as hipóteses do teorema de Cauchy–Riemann (em coordenadas polares) são satisfeitas e concluímos que
é analítica em
.
Comentário intuitivo/amigável: a restrição em
evita que o fator
sofra saltos de ramo; assim
é bem comportada e diferenciável complexamente em todo o domínio.
Passo 6
Vamos calcular
. Uma forma prática de obter a derivada em coordenadas polares é fixar
e variar
: se
então
, e
quando
. Assim, usando que o limite é independente da direção (pela analiticidade) obtemos a fórmula conveniente
(Argumento curto: a derivada complexa pode ser obtida tomando a derivada direcional na direção radial e multiplicando por
; as CR garantem que o resultado independe da direção escolhida.)
Passo 7
Calcule
com as expressões do Passo 3:
Mas
, e
. Portanto
Aplicando a fórmula do Passo 6:
Substituindo
dá
Agora compare com
:
Portanto
Passo 8
Breve observação final e motivacional: a função dada é essencialmente a raiz quadrada principal
escrita em coordenadas polares com escolha de ramo
. É sabido que a raiz quadrada é analítica em qualquer domínio simplesmente conexo que não contenha a origem e em que se escolha um ramo contínuo do argumento; aqui o domínio
é um desses domínios e o cálculo direto pelas equações de Cauchy–Riemann em polares confirma o fato. A derivada
é a fórmula clássica para a derivada da raiz quadrada.