Verifique que P=A+A^T é simétrica para:
A=[cc 2 & -5 3 & 4 ]
e responda: isso vale para toda matriz quadrada?

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, dado
A = 2 & -5 3 & 4,
a matriz
P = A + A^T
é simétrica, e em seguida questiona se essa propriedade vale para qualquer matriz quadrada. Vamos usar definição de transposta e de matriz simétrica.

Passo 2

Calcular a transposta de A. Por defini\c{c}~ao, (A^T)ij = Aji. Logo,
A^T = 2 & 3 -5 & 4

Passo 3

Formar P = A + A^T somando termo a termo:
P = 2 & -5 3 & 4 + 2 & 3 -5 & 4 = 2+2 & -5+3 3+(-5) & 4+4 = 4 & -2 -2 & 8

Passo 4

Verificar que P `e sim’etrica, ou seja, P = P^T. Note que
P^T = 4 & -2 -2 & 8 ^T = 4 & -2 -2 & 8 = P
Como P12 = P21 = -2, P `e sim’etrica.

Passo 5

Generalização: para qualquer matriz quadrada A vale
(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T,
usando a propriedade (M+N)^T = M^T+N^T e (A^T)^T=A. Logo A + A^T é sempre simétrica.

Resposta

P = 4 & -2 -2 & 8,
que `e sim’etrica. E sim, para toda matriz quadrada A, A+A^T `e sempre sim’etrica.

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