Verifique que
é simétrica para:
e responda: isso vale para toda matriz quadrada?
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, dado
a matriz
é simétrica, e em seguida questiona se essa propriedade vale para qualquer matriz quadrada. Vamos usar definição de transposta e de matriz simétrica.
Passo 2
Calcular a transposta de
A . Por defini\c{c}~ao,
(A^T)ij = Aji . Logo,
Passo 3
Formar
P = A + A^T somando termo a termo:
Passo 4
Verificar que
P `e sim’etrica, ou seja,
P = P^T . Note que
Como
P12 = P21 = -2 ,
P `e sim’etrica.
Passo 5
Generalização: para qualquer matriz quadrada
A vale
usando a propriedade
(M+N)^T = M^T+N^T e
(A^T)^T=A . Logo
A + A^T é sempre simétrica.
Resposta
que `e sim’etrica. E sim, para toda matriz quadrada
A ,
A+A^T `e sempre sim’etrica.