Considere as matrizes:
A=[cc 3 & -2 4 & 5 ], B=[cc 1 & 7 -4 & 3 ], C=[cc 2 & 4 0 & -1 ]
Calcule:
(a) A+B
(b) 2 C-A
(c) 4 A-3 B+2 C
(d) A cdot B
(e) Verifique se (A cdot B)^T=B^T cdot A^T

Passo 1

O enunciado apresenta três matrizes quadradas de ordem 2:
A = 3 & -24 & 5, B = 1 & 7-4 & 3, C = 2 & 40 & -1
O conteúdo é operações com matrizes: soma, multiplicação por escalar, produto de matrizes e transposição. Vamos usar as definições:
– Soma e subtração de matrizes operam elemento a elemento.
– Multiplicação por escalar multiplica cada elemento.
– Produto 2times2 segue regra (AB)ij=sumk=1^2 AikBkj.
– Transposta troca linhas por colunas.

Passo 2

Para calcular A+B, somamos elemento a elemento:
A+B = 3+1 & -2+7 4+(-4) & 5+3 = 4 & 5 0 & 8

Passo 3

Para calcular 2C - A, primeiro 2C é
2C = 2cdot2 & 2cdot4 2cdot0 & 2cdot(-1) = 4 & 8 0 & -2 ,
e então
2C - A = 4-3 & 8-(-2) 0-4 & -2-5 = 1 & 10 -4 & -7

Passo 4

Para 4A - 3B + 2C, calculamos cada termo:
4A = 12 & -816 & 20, -3B = -3 & -2112 & -9, 2C = 4 & 80 & -2
Somando:
4A-3B+2C = 12-3+4 & -8-21+8 16+12+0 & 20-9-2 = 13 & -21 28 & 9

Passo 5

Para Acdot B, usamos a definição de produto:
Acdot B = 3cdot1 + (-2)cdot(-4) & 3cdot7 + (-2)cdot3 4cdot1 + 5cdot(-4) & 4cdot7 + 5cdot3 = 11 & 15 -16 & 43

Passo 6

Para verificar (Acdot B)^T = B^T cdot A^T, primeiro
(Acdot B)^T = 11 & -16 15 & 43
Em seguida
B^T = 1 & -47 & 3, A^T = 3 & 4-2 & 5,
logo
B^T A^T = 1cdot3 + (-4)cdot(-2) & 1cdot4 + (-4)cdot5 7cdot3 + 3cdot(-2) & 7cdot4 + 3cdot5 = 11 & -16 15 & 43
Como os dois são iguais, a propriedade está verificada.

Resposta

(a) 4 & 50 & 8
(b) 1 & 10-4 & -7
(c) 13 & -2128 & 9
(d) 11 & 15-16 & 43
(e) Sim, (Acdot B)^T = 11 & -1615 & 43 = B^Tcdot A^T.

Exercícios relacionados