Calcule o produto de p(x)=5+(1-i) x+3 x^{2}+4 i x^{3} por q(x)=-2+i x+i x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o produto de dois polinômios com coeficientes complexos, ou seja, vamos usar a propriedade distributiva (multiplicação termo a termo) e depois agrupar termos semelhantes em x^k.

Passo 2

Reescrevendo os polinômios:
p(x)=5+(1 - i)\,x+3\,x^{2}+4\,i\,x^{3},
q(x)=-2 + i\,x + i\,x^{2}.

Passo 3

Calcular -2\cdot p(x):
-2\cdot p(x)=-2\cdot\bigl(5+(1 - i)x+3x^{2}+4i\,x^{3}\bigr) =-10+(-2+2i)x-6x^{2}-8i\,x^{3}.

Passo 4

Calcular i\,x\cdot p(x):
i\,x\cdot p(x) =i\,x\bigl(5\bigr)+i\,x\bigl((1 - i)x\bigr)+i\,x\bigl(3x^{2}\bigr)+i\,x\bigl(4i\,x^{3}\bigr) =5i\,x+(1+i)x^{2}+3i\,x^{3}-4x^{4}.

Passo 5

Calcular i\,x^{2}\cdot p(x):
i\,x^{2}\cdot p(x) =5i\,x^{2}+(1+i)x^{3}+3i\,x^{4}-4x^{5}.

Passo 6

Somando os três resultados e agrupando por potências de x:
Coeficiente de x^{0}: -10.
Coeficiente de x^{1}: (-2+2i)+5i=-2+7i.
Coeficiente de x^{2}: -6)+(1+i)+5i=-5+6i.
Coeficiente de x^{3}: -8i)+3i+(1+i)=1-4i.
Coeficiente de x^{4}: -4)+3i=-4+3i.
Coeficiente de x^{5}: -4.
Logo o produto é
p(x)\,q(x) =-4\,x^{5}+(-4+3i)\,x^{4}+(1-4i)\,x^{3}+(-5+6i)\,x^{2}+(-2+7i)\,x-10.

Resposta

-4\,x^{5}+(-4+3i)\,x^{4}+(1-4i)\,x^{3}+(-5+6i)\,x^{2}+(-2+7i)\,x-10.

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