Verifique quais pares de retas r e s são coincidentes e quais são paralelas, onde:
r=(4 t+4,2 t+3,-2 t) mid t in R e s: x2=y-1=-z+2.

Passo 1

O enunciado apresenta as retas
r = (4t+4,2t+3,-2t)mid tin R
e
s dada por x2=y-1=-z+2.
Queremos verificar se r e s são paralelas (mesma direção, sem interseção) ou coincidentes (mesma direção e interseção infinita). Para isso, vamos extrair vetores diretores de cada reta e checar colinearidade; em seguida, verificar se um ponto de r pertence a s.

Passo 2

Obtemos a forma paramétrica de s. Defina
lambda=x2=y-1=-z+2
Então
x = 2lambda, y = lambda + 1, z = 2 - lambda
Um ponto em s é (0,1,2) para lambda=0 e o vetor diretor é
vs = (2,1,-1)

Passo 3

Extraímos o vetor diretor de r da expressão (4t+4,2t+3,-2t). O coeficiente de t em cada coordenada é
vr = (4,2,-2) = 2,(2,1,-1)
Logo, vr e vs são colineares, indicando que r e s são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para distinguir paralelismo de coincidência, verificamos se um ponto de r pertence a s. Em r, para t=0 temos o ponto
P = (4,3,0)
Procuramos lambda tal que
(2lambda,;lambda+1,;2-lambda) = (4,3,0)
Da primeira coordenada 2lambda=4 segue lambda=2, e das demais lambda+1=3 e 2-lambda=0 conferem. Logo Pin s.

Resposta

As retas r e s são coincidentes.

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