Encontre a equação da esfera de centro
e raio 4 .
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede: encontrar a equação da esfera cujo centro e raio são dados.
- Dados: centro
e raio . - Pergunta implícita: escrever a equação da esfera — normalmente aceita-se a forma padrão (com o quadrado das distâncias) e também a forma reduzida/expandida (polinomial em
).
Passo 2
Lembrando a fórmula da esfera em 3D (a “aula rápida”).
- A distância entre um ponto genérico
e o centro é dada pela raiz quadrada de . - A esfera de centro
e raio é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é . Em forma algébrica isso vira a fórmula padrão:
- Explicando cada símbolo:
são as coordenadas de um ponto qualquer da esfera; são as coordenadas do centro; é o raio; e é o quadrado do raio (pois aparece sem raiz).
Passo 3
Substituir o centro e calcular
.
- Aqui
, , e . - Calcular
:
Passo 4
Escrever a expressão padrão com a substituição (a forma não-expandida).
- Substituindo
e na fórmula padrão obtemos os três binômios que representam as distâncias ao quadrado:
- Essas três expressões somadas devem igualar
, o que corresponde diretamente à equação da esfera — a forma final será montada na seção de resposta.
Passo 5
Querendo a forma expandida (passo a passo da expansão para você saber fazer na prova).
- Expandir cada quadrado:
- Somando os três polinômios do lado esquerdo obtemos
- Calcular a soma das constantes:
. - Então o lado esquerdo expandido é
- Para transformar em forma polinomial igual a zero, subtrai-se
de ambos os lados; a constante resultante será . Assim chegamos à forma reduzida (polinomial).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (como identificar centros e coeficientes ao comparar com a forma geral).
- Forma padrão:
. Para ler basta olhar os sinais dentro dos parênteses. - Forma polinomial geral:
. Os coeficientes estão relacionados ao centro por , , e o raio por . Isso é útil se você receber a equação já expandida e precisar extrair centro/raio.