Encontre a equação da esfera de centro C=(2,-1,3) e raio 4 .

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: encontrar a equação da esfera cujo centro e raio são dados.
  • Dados: centro C=(2,-1,3) e raio 4.
  • Pergunta implícita: escrever a equação da esfera — normalmente aceita-se a forma padrão (com o quadrado das distâncias) e também a forma reduzida/expandida (polinomial em x,y,z).

Passo 2

Lembrando a fórmula da esfera em 3D (a “aula rápida”).
  • A distância entre um ponto genérico (x,y,z) e o centro C=(h,k,l) é dada pela raiz quadrada de (x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2.
  • A esfera de centro (h,k,l) e raio r é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é r. Em forma algébrica isso vira a fórmula padrão:
(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2.
  • Explicando cada símbolo: x,y,z são as coordenadas de um ponto qualquer da esfera; h,k,l são as coordenadas do centro; r é o raio; e r^2 é o quadrado do raio (pois aparece sem raiz).

Passo 3

Substituir o centro e calcular r^2.
  • Aqui h=2, k=-1, l=3 e r=4.
  • Calcular r^2:
r^2 = 4^2 = 16.

Passo 4

Escrever a expressão padrão com a substituição (a forma não-expandida).
  • Substituindo h,k,l e r^2 na fórmula padrão obtemos os três binômios que representam as distâncias ao quadrado:
(x-2)^2,\qquad (y-(-1))^2=(y+1)^2,\qquad (z-3)^2.
  • Essas três expressões somadas devem igualar r^2=16, o que corresponde diretamente à equação da esfera — a forma final será montada na seção de resposta.

Passo 5

Querendo a forma expandida (passo a passo da expansão para você saber fazer na prova).
  • Expandir cada quadrado:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4,
(y+1)^2 = y^2 + 2y + 1,
(z-3)^2 = z^2 - 6z + 9.
  • Somando os três polinômios do lado esquerdo obtemos
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + (4+1+9).
  • Calcular a soma das constantes: 4+1+9=14.
  • Então o lado esquerdo expandido é
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 14.
  • Para transformar em forma polinomial igual a zero, subtrai-se r^2=16 de ambos os lados; a constante resultante será 14-16=-2. Assim chegamos à forma reduzida (polinomial).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como identificar centros e coeficientes ao comparar com a forma geral).
  • Forma padrão: (x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2. Para ler h,k,l basta olhar os sinais dentro dos parênteses.
  • Forma polinomial geral: x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0. Os coeficientes A,B,C estão relacionados ao centro por h=-A/2, k=-B/2, l=-C/2 e o raio por r=\sqrt{h^2+k^2+l^2-D}. Isso é útil se você receber a equação já expandida e precisar extrair centro/raio.

Resposta

(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16
x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-2=0

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