Verifique que os pontos A(2,1,2), B(1,2,-1) e C(-1,0,-1) são vértices de um triângulo retângulo em B, utilizando:
a) Distância entre dois pontos
b) Produto interno

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(2,1,2), B(1,2,-1) e C(-1,0,-1) no espaço e pede para mostrar que o triângulo ABC é retângulo em B usando duas abordagens: a) distância entre pontos em R^3 e b) produto interno de vetores.

Passo 2

Para usar distâncias, calculamos os vetores
BA=A-B=(2-1,;1-2,;2-(-1))=(1,-1,3),
BC=C-B=(-1-1,;0-2,;-1-(-1))=(-2,-2,0),
AC=C-A=(-1-2,;0-1,;-1-2)=(-3,-1,-3)
Em seguida as normas ao quadrado:
|BA|^2=1^2+(-1)^2+3^2=11, |BC|^2=(-2)^2+(-2)^2+0^2=8,
|AC|^2=(-3)^2+(-1)^2+(-3)^2=19
Note que
|BA|^2+|BC|^2=11+8=19=|AC|^2
Como em um triângulo a soma dos quadrados de dois lados adjacentes é igual ao quadrado do lado oposto, segue que o ângulo em B é reto.

Passo 3

Para o produto interno, usamos BA=(1,-1,3) e BC=(-2,-2,0) e calculamos
BAcdotBC =1cdot(-2)+(-1)cdot(-2)+3cdot0=-2+2+0=0
Como o produto interno de BA e BC é zero, esses vetores são ortogonais, o que confirma que o ângulo em B é de 90^circ.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em B.

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