Seja uma placa, bem fina, com a forma de um quadrado
com vértices sobre a origem e sobre o ponto
. Se sua densidade
é dada por
, calcule a massa total e o centro de massa da placa.
R.
e
R.
Passo 1
O enunciado pede a massa total e o centro de massa de uma placa fina sobre o quadrado R: 0≤x≤a, 0≤y≤a, com densidade δ(x,y)=x+y. Vamos usar integrais duplas para a massa e as fórmulas de centro de massa:
M=∬_R δ dA, x̄=(1/M)∬_R x δ dA, ȳ=(1/M)∬_R y δ dA.
M=∬_R δ dA, x̄=(1/M)∬_R x δ dA, ȳ=(1/M)∬_R y δ dA.
Passo 2
Calculamos primeiro a massa M fazendo a integral iterada:
Integramos em x:
Agora em y:
Passo 3
Para x̄ fazemos a integral ponderada por x:
Integramos em x:
Em seguida em y:
Assim,
Passo 4
Como a região e a densidade são simétricas em x e y, segue que
Resposta
M = a^3; x̄ = ȳ = 7a/12