Seja uma placa, bem fina, com a forma de um quadrado R com vértices sobre a origem e sobre o ponto (a, a). Se sua densidade de é dada por de, calcule a massa total e o centro de massa da placa.
R. M=a^3 e x=y=7 a / 12

Passo 1

O enunciado pede a massa total e o centro de massa de uma placa fina sobre o quadrado R: 0≤x≤a, 0≤y≤a, com densidade δ(x,y)=x+y. Vamos usar integrais duplas para a massa e as fórmulas de centro de massa:
M=∬_R δ dA, x̄=(1/M)∬_R x δ dA, ȳ=(1/M)∬_R y δ dA.

Passo 2

Calculamos primeiro a massa M fazendo a integral iterada:
M=integral0^aintegral0^a(x+y),dx,dy
Integramos em x:
integral0^a(x+y),dx=a^22+a,y
Agora em y:
M=integral0^al(a^22+a,yr),dy=a^32+acdota^22=a^3

Passo 3

Para x̄ fazemos a integral ponderada por x:
bar x=1Mintegral0^aintegral0^ax(x+y),dx,dy
Integramos em x:
integral0^ax(x+y),dx=integral0^a(x^2+xy),dx=a^33+a^2,y2
Em seguida em y:
integral0^al(a^33+a^2,y2r),dy=a^43+a^44=7a^412
Assim,
bar x=7a^4/12a^3=7a12

Passo 4

Como a região e a densidade são simétricas em x e y, segue que
bar y=bar x=7a12

Resposta

M = a^3; x̄ = ȳ = 7a/12

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