Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
z=x^2+y^2, x=1, y=1, z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por z = x^2+y^2, x=1, y=1 e z=0. O conteúdo é volume via integral tripla: a projeção no plano xy é o retângulo 0<= x<=1,;0<= y<=1, e para cada (x,y) o z varia de 0 até x^2+y^2.

Passo 2

O volume V é dado por
V = integral triplaregião dV = integralx=0^1!integraly=0^1!integralz=0^x^2+y^2 dz,dy,dx ã

Passo 3

Integramos primeiro em z. Como
integral0^x^2+y^2 dz = x^2 + y^2,
ficamos com uma integral dupla no plano xy:
V = integral0^1!integral0^1 (x^2 + y^2),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1 (x^2 + y^2),dy = x^2cdot1 + 1^33 = x^2 + tfrac13,

Passo 5

Então
V = integral0^1 l(x^2 + tfrac13r) dx

Passo 6

Por fim, integramos em x:
integral0^1 x^2,dx + integral0^1 tfrac13,dx = 13 + 13 = 23

Resposta

tfrac23

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