Verifique que os pontos A=(1,1), B=(4,2) e C=(-1,7) são os vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano: A=(1,1), B=(4,2) e C=(-1,7). Queremos mostrar que esses pontos são vértices de um triângulo retângulo, ou seja, que um dos ângulos entre os segmentos que ligam esses pontos é de 90^circ. Para isso, usaremos a fórmula da distância entre dois pontos e o Teorema de Pitágoras (ou sua inversa).

Passo 2

A fórmula da distância ao quadrado entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é
d^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos aplicar essa fórmula para os pares (A,B), (B,C) e (A,C).

Passo 3

Calculando cada quadrado de distância:
AB^2 = (4-1)^2 + (2-1)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10,
BC^2 = (-1-4)^2 + (7-2)^2 = (-5)^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50,
AC^2 = (-1-1)^2 + (7-1)^2 = (-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40

Passo 4

Observamos que
AB^2 + AC^2 = 10 + 40 = 50 = BC^2
Pela inversa do Teorema de Pitágoras, isso implica que o triângulo com lados AB, AC e BC é retângulo, e o ângulo reto ocorre no vértice A (pois os catetos são AB e AC, e a hipotenusa é BC).

Resposta

Sim, os pontos A, B e C formam um triângulo retângulo em A, pois AB^2 + AC^2 = BC^2.

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