Verifique o posto e a nulidade das seguintes matrizes
Q=[llllq1 & 2 q1 & q2 & q1+5 q2] onde q1, q2 in R^5 são LI.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
Q = l[q1;;2q1;;q2;;q1+5q2r]
de tamanho 5times4, cujas colunas estão em R^5. Sabe-se que q1 e q2 são LI. Precisamos encontrar o posto de Q (dimensão do espaço coluna) e a nulidade de Q (dimensão do núcleo), usando dependência linear e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Denotando as colunas por
;c1=q1,;c2=2q1,;c3=q2,;c4=q1+5q2,
vemos que c2=2c1 e c4=c1+5c3. Como q1 e q2 são LI, as colunas c1 e c3 são independentes e geram todas as demais.

Passo 3

Logo o espaço coluna de Q é gerado por c1,c3 e
rank(Q)=diml(Im,Qr)=2

Passo 4

Pelo teorema do posto-nulidade em R^4 (número de colunas é 4), temos
dim(ker Q)+rank(Q)=4
portanto
dim(ker Q)=4-2=2

Resposta

O posto de Q é 2 e a nulidade de Q é 2.

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