Sejam u, v in R^2, com u=(u1, u2) e v=(v1, v2). Considerando o produto interno
lang<=u, vrang<==u1 v1+2 u2 v2-u1 v2-u2 v1
(a) Determinar m a fim de que os vetores (1+m, 2) e (3, m-1) sejam ortogonais.
(b) Determinar todos os vetores de R^2 ortogonais a (2,1).

Passo 1

O enunciado define em R^2 o produto interno
lang<=u,vrang<= = u1v1 + 2,u2v2 - u1v2 - u2v1
e pede:
(a) achar m para que u=(1+m,2) e v=(3,m-1) sejam ortogonais, isto é, lang<=u,vrang<==0;
(b) caracterizar todos os w=(x,y) tais que lang<=w,(2,1)rang<==0.

Passo 2

Para (a), calculemos
lang<=u,vrang<= = (1+m)cdot 3 ;+; 2cdot 2cdot(m-1);-;(1+m),(m-1);-;2cdot3
Expandindo e somando termos, obtemos
3+3m ;+;4m-4;-;(m^2-1);-;6 = -m^2+7m-6
A ortogonalidade pede -m^2+7m-6=0.

Passo 3

Resolvendo
-m^2+7m-6=0 Long<=ftrightarrow m^2-7m+6=0 Long<=ftrightarrow (m-1)(m-6)=0,
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m=1ou m=6

Passo 4

Para (b), seja w=(x,y). Queremos
lang<=(x,y),(2,1)rang<= = xcdot2 + 2,ycdot1 - xcdot1 - ycdot2 = 0
Simplificando:
2x +2y -x -2y = x = 0

Passo 5

Da condição x=0 segue que todos os vetores ortogonais a (2,1) são da forma
w=(0,y),
com yinR.

Resposta

(a) m=1 ou m=6.
(b) Todos os vetores (0,y), com yinR.

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