Verifique se os produtos estão definidos e, quando possível, calcule
Calcule A B e B A, sendo A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll}5 & 6 \\\\ 7 & 8\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os produtos AB e BA estão definidos e, quando possível, calculá-los. As matrizes dadas são
A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & 4\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\[6pt] 7 & 8\end{bmatrix}.
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, que exige compatibilidade de dimensões.]

Passo 2

Uma multiplicação de matrizes X Y está definida se o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y. Como A e B são ambas 2\times2, temos
\text{colunas}(A)=2=\text{linhas}(B) \quad\text{e}\quad \text{colunas}(B)=2=\text{linhas}(A),
logo tanto AB quanto BA estão definidos.

Passo 3

Para calcular AB, usamos o produto linha-por-coluna:
AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\[6pt] 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\[6pt] 15 + 28 & 18 + 32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\[3pt] 43 & 50 \end{bmatrix}.]

Passo 4

De modo análogo, para BA fazemos:
BA = \begin{bmatrix} 5\cdot1 + 6\cdot3 & 5\cdot2 + 6\cdot4 \\[6pt] 7\cdot1 + 8\cdot3 & 7\cdot2 + 8\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 18 & 10 + 24 \\[6pt] 7 + 24 & 14 + 32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 34 \\[3pt] 31 & 46 \end{bmatrix}.]

Resposta

AB = \begin{bmatrix}19 & 22 \\[3pt] 43 & 50\end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix}23 & 34 \\[3pt] 31 & 46\end{bmatrix}.]

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