Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a igualdade
é verdadeira (V) ou falsa (F). As informações que temos explicitamente são os símbolos envolvidos; preciso deixar claras as definições usadas (peguei-as do enunciado: os símbolos não vêm com definição explícita, então listarei as convenções usuais):
-
denota o conjunto dos números racionais estritamente positivos (ou seja, todos os tais que ). -
é o conjunto dos inteiros ( ). -
é o conjunto dos naturais; atenção: existem duas convenções comuns: - Convenção A:
(naturais positivos). - Convenção B:
(inclui o zero).
O que nos pedem: determinar se a igualdade de conjuntos acima é verdadeira ou falsa (e, se necessário, justificar).
- Convenção A:
Passo 2
Estratégia padrão para mostrar igualdade de conjuntos: provar duas inclusões
Vou fazer cada inclusão passo a passo. Antes, uma observação simples e útil: todo inteiro é um racional, porque para
escrevemos
. Isso mostra que
.
Passo 3
Provar
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pelo fato de
pertencer à interseção, temos duas coisas simultaneamente:
-
, isto é e ; -
, isto é é um número inteiro.
Unindo as duas:é um inteiro positivo (um inteiro maior que zero). Portanto pertence a , que é a convenção A para . Logo, sob a Convenção A, cada elemento de está em , ou seja
Se usarmos a Convenção B (
contendo
), a inclusão ainda é verdadeira no sentido de subconjunto — pois todo elemento do lado esquerdo é um inteiro positivo e portanto também pertence à
que contém os positivos; portanto a inclusão continua válida:
em ambas as convenções.
Passo 4
Provar
.
Considere primeiro um
com a Convenção A (
). Então:
-
(inteiro), -
, logo porque, como lembrado antes, todo inteiro é racional: .
Portanto. Isso mostra
Agora considere a Convenção B (
contém
). Para
vemos:
-
(inteiro), - porém
porque exige ser estritamente positivo.
Logo. Assim, com a Convenção B a inclusão falha por causa de .
Passo 5
Conclusão lógica a partir das duas inclusões e do caso do zero.
-
Se adotarmos a Convenção A (
), então provamos ambas as inclusões: portanto há igualdade e a proposição é verdadeira. -
Se adotarmos a Convenção B (
), então a inclusão é falsa por causa de . Um contraexemplo simples: mas . Assim, com essa convenção a igualdade é falsa.
Passo 6
Comentário pedagógico final (como usar isso na prova, de forma prática):
- Técnica: para afirmar igualdade de conjuntos mostre as duas inclusões; para negar igualdade basta encontrar um elemento que pertence a um lado e não ao outro (contraexemplo).
- Atenção com notação: sempre verifique a convenção usada para
(muito problema em provas vem dessa confusão). Se a prova não especificar, diga explicitamente qual convenção está adotando quando der a resposta. - Exemplos rápidos:
- Com
: e — compatível. - Com
: mas — mostra a desigualdade.
- Com
Resposta
V (se
); F (se
).