Verifique quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
\mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z}=\mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
\mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N}
é verdadeira (V) ou falsa (F). As informações que temos explicitamente são os símbolos envolvidos; preciso deixar claras as definições usadas (peguei-as do enunciado: os símbolos não vêm com definição explícita, então listarei as convenções usuais):
  • \mathbb{Q}_{+}^{*} denota o conjunto dos números racionais estritamente positivos (ou seja, todos os q\in\mathbb{Q} tais que q>0).
  • \mathbb{Z} é o conjunto dos inteiros ( \dots,-2,-1,0,1,2,\dots).
  • \mathbb{N} é o conjunto dos naturais; atenção: existem duas convenções comuns:
    • Convenção A: \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (naturais positivos).
    • Convenção B: \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} (inclui o zero).
      O que nos pedem: determinar se a igualdade de conjuntos acima é verdadeira ou falsa (e, se necessário, justificar).

Passo 2

Estratégia padrão para mostrar igualdade de conjuntos: provar duas inclusões
\mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{N} \qquad\text{e}\qquad \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z}.
Vou fazer cada inclusão passo a passo. Antes, uma observação simples e útil: todo inteiro é um racional, porque para k\in\mathbb{Z} escrevemos k=\dfrac{k}{1}\in\mathbb{Q}. Isso mostra que \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}.

Passo 3

Provar \mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{N}.
Tomemos um elemento arbitrário x\in\mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z}. Pelo fato de x pertencer à interseção, temos duas coisas simultaneamente:
  • x\in\mathbb{Q}_{+}^{*}, isto é x\in\mathbb{Q} e x>0;
  • x\in\mathbb{Z}, isto é x é um número inteiro.
    Unindo as duas: x é um inteiro positivo (um inteiro maior que zero). Portanto x pertence a \{1,2,3,\dots\}, que é a convenção A para \mathbb{N}. Logo, sob a Convenção A, cada elemento de \mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z} está em \mathbb{N}, ou seja
\mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{N}\quad(\text{se }\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}).
Se usarmos a Convenção B ( \mathbb{N} contendo 0), a inclusão ainda é verdadeira no sentido de subconjunto — pois todo elemento do lado esquerdo é um inteiro positivo e portanto também pertence à \mathbb{N} que contém os positivos; portanto a inclusão continua válida: \mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N} em ambas as convenções.

Passo 4

Provar \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}_{+}^{*} \cap \mathbb{Z}.
Considere primeiro um n\in\mathbb{N} com a Convenção A ( n\in\{1,2,\dots\}). Então:
  • n\in\mathbb{Z} (inteiro),
  • n>0, logo n\in\mathbb{Q}_{+}^{*} porque, como lembrado antes, todo inteiro é racional: n=\dfrac{n}{1}.
    Portanto n\in\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z}. Isso mostra
\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z}\quad(\text{se }\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}).
Agora considere a Convenção B ( \mathbb{N} contém 0). Para n=0 vemos:
  • 0\in\mathbb{Z} (inteiro),
  • porém 0\notin\mathbb{Q}_{+}^{*} porque \mathbb{Q}_{+}^{*} exige ser estritamente positivo.
    Logo 0\notin\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z}. Assim, com a Convenção B a inclusão \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z} falha por causa de 0.

Passo 5

Conclusão lógica a partir das duas inclusões e do caso do zero.
  • Se adotarmos a Convenção A ( \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}), então provamos ambas as inclusões:
    \mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N} \quad\text{e}\quad \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z},
    portanto há igualdade e a proposição é verdadeira.
  • Se adotarmos a Convenção B ( \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}), então a inclusão \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z} é falsa por causa de 0. Um contraexemplo simples: 0\in\mathbb{N} mas 0\notin\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z}. Assim, com essa convenção a igualdade é falsa.

Passo 6

Comentário pedagógico final (como usar isso na prova, de forma prática):
  • Técnica: para afirmar igualdade de conjuntos mostre as duas inclusões; para negar igualdade basta encontrar um elemento que pertence a um lado e não ao outro (contraexemplo).
  • Atenção com notação: sempre verifique a convenção usada para \mathbb{N} (muito problema em provas vem dessa confusão). Se a prova não especificar, diga explicitamente qual convenção está adotando quando der a resposta.
  • Exemplos rápidos:
    • Com \mathbb{N}=\{1,2,\dots\}: 5\in\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z} e 5\in\mathbb{N} — compatível.
    • Com \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}: 0\in\mathbb{N} mas 0\notin\mathbb{Q}_{+}^{*}\cap\mathbb{Z} — mostra a desigualdade.

Resposta

V (se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}); F (se \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}).

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