Verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta:
emptyset subsetemptyset,emptyset

Passo 1

O enunciado pede para verificar se emptyset é um subconjunto próprio de emptyset,emptyset. O conteúdo é teoria de conjuntos, em particular definições de subconjunto ( Asubset B) e subconjunto próprio.

Passo 2

Por definição, Asubset B significa que todo elemento de A pertence a B e Aneq B. Primeiro vamos mostrar que emptysetsubset emptyset,emptyset.

Passo 3

Para provar emptysetsubset X para qualquer conjunto X, usamos o fato que não há nenhum elemento em emptyset. A afirmação “para todo xinemptyset, temos xin X” é verdadeira por vacuidade, pois não existe xinemptyset. Portanto emptysetsubset emptyset,emptyset.

Passo 4

Agora precisamos verificar que não há igualdade entre os conjuntos, ou seja, emptysetneq emptyset,emptyset. Como emptyset não contém elemento algum e emptyset,emptyset tem dois elementos ( emptyset e emptyset), eles são distintos.

Passo 5

Como concluímos que todo elemento de emptyset pertence a emptyset,emptyset e que emptyset é estritamente menor que emptyset,emptyset, a inclusão é própria.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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