Verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subconjunto próprio de
. O conteúdo é teoria de conjuntos, em particular definições de subconjunto (
) e subconjunto próprio.
Passo 2
Por definição,
significa que todo elemento de
pertence a
e
. Primeiro vamos mostrar que
.
Passo 3
Para provar
para qualquer conjunto
, usamos o fato que não há nenhum elemento em
. A afirmação “para todo
, temos
” é verdadeira por vacuidade, pois não existe
. Portanto
.
Passo 4
Agora precisamos verificar que não há igualdade entre os conjuntos, ou seja,
. Como
não contém elemento algum e
tem dois elementos (
e
), eles são distintos.
Passo 5
Como concluímos que todo elemento de
pertence a
e que
é estritamente menor que
, a inclusão é própria.
Resposta
A proposição é verdadeira.