Em uma gaveta há 10 pilhas, das quais duas estão descarregadas. Testando-se as pilhas uma a uma até serem identificadas as duas descarregadas, determine a probabilidade de serem feitos:
a) cinco testes.
b) mais de cinco testes.
c) menos de 5 testes.
a) cinco testes.
b) mais de cinco testes.
c) menos de 5 testes.
Passo 1
O enunciado: temos 10 pilhas, das quais 2 estão descarregadas, e testamos uma a uma sem reposição até achar as duas descarregadas. O conteúdo é a distribuição do número de testes X até ocorrer o segundo “sucesso” (pilha descarregada). Vamos usar contagem de casos: todas as posições dos 2 descarregados entre 1 e 10 são igualmente prováveis.
Passo 2
Para calcular a probabilidade de X = k, note que basta escolher a posição da primeira pilha descarregada em {1,…,k−1} e a segunda em k. O número total de formas de escolher 2 posições em 10 é
, e há exatamente k−1 formas que colocam o segundo descarregado em k. Logo
Passo 3
a) Para k=5, temos
Passo 4
b) “Mais de cinco testes” significa X>5. Então
Passo 5
c) “Menos de cinco testes” significa X<5, isto é k=2,3,4. Então
Resposta
a)
; b)
; c)
.