Em uma gaveta há 10 pilhas, das quais duas estão descarregadas. Testando-se as pilhas uma a uma até serem identificadas as duas descarregadas, determine a probabilidade de serem feitos:
a) cinco testes.
b) mais de cinco testes.
c) menos de 5 testes.

Passo 1

O enunciado: temos 10 pilhas, das quais 2 estão descarregadas, e testamos uma a uma sem reposição até achar as duas descarregadas. O conteúdo é a distribuição do número de testes X até ocorrer o segundo “sucesso” (pilha descarregada). Vamos usar contagem de casos: todas as posições dos 2 descarregados entre 1 e 10 são igualmente prováveis.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de X = k, note que basta escolher a posição da primeira pilha descarregada em {1,…,k−1} e a segunda em k. O número total de formas de escolher 2 posições em 10 é binom102=45, e há exatamente k−1 formas que colocam o segundo descarregado em k. Logo
P(X=k)=k-1binom102=k-145

Passo 3

a) Para k=5, temos
P(X=5)=5-145=445

Passo 4

b) “Mais de cinco testes” significa X>5. Então
P(X>5)=sumk=6^10k-145=5+6+7+8+945=3545=79

Passo 5

c) “Menos de cinco testes” significa X<5, isto é k=2,3,4. Então
P(X<5)=sumk=2^4k-145=1+2+345=645=215

Resposta

a) 445; b) 79; c) 215.

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