Verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta:
Passo 1
A questão pede para verificar se a proposição “
(∀A)(∅ ⊂ A)
” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é teoria de conjuntos: usamos definição de subconjunto e quantificador universal.
(∀A)(∅ ⊂ A)
” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é teoria de conjuntos: usamos definição de subconjunto e quantificador universal.
Passo 2
Vamos lembrar da definição de subconjunto próprio. Dizemos que “
X ⊂ Y
” (subconjunto próprio) se e somente se duas condições valem simultaneamente:
X ⊂ Y
” (subconjunto próprio) se e somente se duas condições valem simultaneamente:
- Todo elemento de X está em Y (ou seja, X ⊆ Y).
- X é diferente de Y (ou seja, X ≠ Y).
Passo 3
Para testar a proposição ∀A(∅ ⊂ A) basta encontrar um conjunto A para o qual ∅ ⊂ A seja falso. Escolhemos A = ∅. Nesse caso temos:
- ∅ ⊆ ∅ é verdadeiro (todo elemento do conjunto vazio está no vazio).
- Mas ∅ ≠ ∅ é falso (o conjunto vazio é igual a ele mesmo).
Logo ∅ ⊂ ∅ é falso.
Passo 4
Como já encontramos um A (A = ∅) que torna ∅ ⊂ A falso, a afirmação universal “para todo A, ∅ ⊂ A” não pode ser verdadeira. Portanto a proposição é falsa.
Resposta
Falsa, pois para A = ∅ não vale ∅ ⊂ ∅ (o subconjunto próprio exige ∅ ≠ ∅, o que falha).