Verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta:
(forall A)(emptyset subset A)

Passo 1

A questão pede para verificar se a proposição “
(∀A)(∅ ⊂ A)
” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é teoria de conjuntos: usamos definição de subconjunto e quantificador universal.

Passo 2

Vamos lembrar da definição de subconjunto próprio. Dizemos que “
X ⊂ Y
” (subconjunto próprio) se e somente se duas condições valem simultaneamente:
  1. Todo elemento de X está em Y (ou seja, X ⊆ Y).
  2. X é diferente de Y (ou seja, X ≠ Y).

Passo 3

Para testar a proposição ∀A(∅ ⊂ A) basta encontrar um conjunto A para o qual ∅ ⊂ A seja falso. Escolhemos A = ∅. Nesse caso temos:
  1. ∅ ⊆ ∅ é verdadeiro (todo elemento do conjunto vazio está no vazio).
  2. Mas ∅ ≠ ∅ é falso (o conjunto vazio é igual a ele mesmo).
    Logo ∅ ⊂ ∅ é falso.

Passo 4

Como já encontramos um A (A = ∅) que torna ∅ ⊂ A falso, a afirmação universal “para todo A, ∅ ⊂ A” não pode ser verdadeira. Portanto a proposição é falsa.

Resposta

Falsa, pois para A = ∅ não vale ∅ ⊂ ∅ (o subconjunto próprio exige ∅ ≠ ∅, o que falha).

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