Verifique as propriedades abaixo para funções trigonométricas complexas:
\cos (-z)=\cos (z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função cosseno complexa é par, ou seja, que
\cos(-z)=\cos(z)
O conteúdo é funções trigonométricas complexas e vamos usar a definição de cosseno via exponenciais.

Passo 2

Lembrando que, para todo z\in\mathbb{C},
\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Essa é a definição de \cos no plano complexo, baseada na série de Taylor ou diretamente nas exponenciais.

Passo 3

Para calcular \cos(-z), basta substituir -z na definição:
\cos(-z) =\frac{e^{\,i(-z)}+e^{-\,i(-z)}}{2} =\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}.

Passo 4

Observando que a soma é comutativa, temos
\frac{e^{-iz}+e^{iz}}{2} =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} =\cos(z).

Resposta

\cos(-z)=\cos(z).

Exercícios relacionados