Verifique que
.
Sugestão: reduza essa desigualdade a
.
Sugestão: reduza essa desigualdade a
Passo 1
Vamos verificar a desigualdade
. Isso envolve entender o módulo de um número complexo e trabalhar com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos reescrever a desigualdade de forma mais simples usando as partes real e imaginária de $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número complexo $ z $ em suas partes real e imaginária. Seja $ z = x + iy $, onde $ x = \operatorname{Re} z $ e $ y = \operatorname{Im} z $. O módulo de $ z $ é dado por:
Passo 3
Substituindo $ |z| $ na desigualdade original, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 4
Expandindo o lado direito da desigualdade:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Subtraindo $ x^{2} + y^{2} $ de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 6
Vamos reorganizar a desigualdade:
Isso pode ser escrito como:
Porque $ (|x| - |y|)^{2} = |x|^{2} - 2|x||y| + |y|^{2} = x^{2} + y^{2} - 2|x||y| $.
Resposta
Como $ (|x| - |y|)^{2} \geq 0 $ é sempre verdadeiro, concluímos que: