Verifique que raiz2|z| >=|Re z|+|Im z|.
Sugestão: reduza essa desigualdade a (|x|-|y|)^2 >= 0.

Passo 1

Vamos verificar a desigualdade raiz2|z| >= |Re z| + |Im z|. Isso envolve entender o módulo de um número complexo e trabalhar com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos reescrever a desigualdade de forma mais simples usando as partes real e imaginária de $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o número complexo $ z $ em suas partes real e imaginária. Seja $ z = x + iy $, onde $ x = \operatorname{Re} z $ e $ y = \operatorname{Im} z $. O módulo de $ z $ é dado por:
z

Passo 3

Substituindo $ |z| $ na desigualdade original, temos:
|z|
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
raiz2 raizx^2 + y^2 >= |x| + |y|

Passo 4

Expandindo o lado direito da desigualdade:
(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2
Então, a desigualdade fica:
2(x^2 + y^2) >= x^2 + 2|x||y| + y^2

Passo 5

Subtraindo $ x^{2} + y^{2} $ de ambos os lados:
x^2 + y^2
Simplificando:
2(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2) >= 2|x||y|

Passo 6

Vamos reorganizar a desigualdade:
x^2 + y^2 - 2|x||y| >= 0
Isso pode ser escrito como:
(|x| - |y|)^2 >= 0
Porque $ (|x| - |y|)^{2} = |x|^{2} - 2|x||y| + |y|^{2} = x^{2} + y^{2} - 2|x||y| $.

Resposta

Como $ (|x| - |y|)^{2} \geq 0 $ é sempre verdadeiro, concluímos que:
(|x| - |y|)^2 >= 0

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