Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{7} y \Leftrightarrow x^{2}+y^{2} \leq 9 em A=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a relação \mathcal{R}_{7} no conjunto A=\mathbb{R} definida por
x\mathcal{R}_{7}y \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\leq 9.
O que se pede:
  • Verificar se \mathcal{R}_{7} é uma relação de equivalência em A (ou seja, verificar reflexividade, simetria e transitividade).
  • Caso seja equivalência, descrever os conjuntos quocientes (as classes de equivalência) / partição associada.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O universo é A=\mathbb{R}.
  • A condição de relação entre x e y é a desigualdade x^{2}+y^{2}\leq 9.

Passo 2

Definição e teste de reflexividade. Lembrete didático: uma relação \mathcal{R} em A é reflexiva se, para todo x\in A, tivermos x\mathcal{R}x. Aqui isso significa verificar se, para todo x\in\mathbb{R},
x^{2}+x^{2}\leq 9.
Simplificando, a condição para x se relacionar consigo mesmo é
2x^{2}\leq 9 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}\leq \frac{9}{2} \quad\Leftrightarrow\quad |x|\leq \frac{3}{\sqrt{2}}.
Portanto apenas os x com |x|\leq \tfrac{3}{\sqrt{2}} satisfazem x\mathcal{R}_{7}x. Como existem x\in\mathbb{R} que não satisfazem isso (por exemplo x=3 ou x=4), a relação não é reflexiva em todo A. Um contraexemplo simples: para x=3 temos 3^{2}+3^{2}=18>9, logo 3\not\mathcal{R}_{7}3. Conclusão: \mathcal{R}_{7} não é reflexiva em A=\mathbb{R}.

Passo 3

Definição e teste de simetria. Lembrete didático: uma relação \mathcal{R} é simétrica se, sempre que x\mathcal{R}y, então y\mathcal{R}x. Aqui a condição é x^{2}+y^{2}\leq 9. Observe que x^{2}+y^{2}=y^{2}+x^{2} — a expressão é simétrica em x e y. Assim, se x^{2}+y^{2}\leq 9 então automaticamente y^{2}+x^{2}\leq 9. Portanto a relação \mathcal{R}_{7} é simétrica. Explicando com calma: a definição envolve trocar os papéis de x e y; como a condição é uma soma de quadrados, a troca não altera nada.

Passo 4

Definição e teste de transitividade. Lembrete didático: \mathcal{R} é transitiva se, sempre que x\mathcal{R}y e y\mathcal{R}z, então x\mathcal{R}z. Aqui precisamos verificar se
x^{2}+y^{2}\leq 9 \quad\text{e}\quad y^{2}+z^{2}\leq 9
implicam
x^{2}+z^{2}\leq 9.
Mostramos que isso não vale em geral, dando um contraexemplo explícito. Tome x=3, y=0, z=3. Então
x^{2}+y^{2}=3^{2}+0^{2}=9\leq 9,
y^{2}+z^{2}=0^{2}+3^{2}=9\leq 9,
logo x\mathcal{R}_{7}y e y\mathcal{R}_{7}z. Porém
x^{2}+z^{2}=3^{2}+3^{2}=18>9,
logo x\not\mathcal{R}_{7}z. Assim a transitividade falha. Conclusão: \mathcal{R}_{7} não é transitiva.

Passo 5

Conclusão sobre ser relação de equivalência. Uma relação de equivalência precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva simultaneamente. Aqui vimos:
  • Não é reflexiva (contraex.: 3\not\mathcal{R}_{7}3).
  • É simétrica.
  • Não é transitiva (contraex.: 3\mathcal{R}_{7}0 e 0\mathcal{R}_{7}3 mas 3\not\mathcal{R}_{7}3).
Portanto \mathcal{R}_{7} não é uma relação de equivalência sobre A=\mathbb{R}.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): embora \mathcal{R}_{7} não seja equivalência em \mathbb{R}, se você restringir o universo para o subconjunto
B=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}\leq \frac{9}{2}\right\}=\left[-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}}\right],
então para quaisquer x,z\in B vale x^{2}+z^{2}\leq \tfrac{9}{2}+\tfrac{9}{2}=9, ou seja, todo par em B está relacionado (a relação é a relação total em B). Nesse caso a relação restrita a B é reflexiva, simétrica e transitiva (é a relação universal em B), e o conjunto quociente seria trivial: há apenas uma classe de equivalência, B inteiro. Mas isso é uma observação extra — para o universo pedido A=\mathbb{R} a relação não é equivalência.

Resposta

A relação \mathcal{R}_{7} não é uma relação de equivalência em A=\mathbb{R} (falha a reflexividade e a transitividade; é apenas simétrica). Logo não há conjunto quociente (partição) associado em A=\mathbb{R}.

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