Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
em
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
no conjunto
definida por
O que se pede:
- Verificar se
é uma relação de equivalência em (ou seja, verificar reflexividade, simetria e transitividade). - Caso seja equivalência, descrever os conjuntos quocientes (as classes de equivalência) / partição associada.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O universo é
. - A condição de relação entre
e é a desigualdade .
Passo 2
Definição e teste de reflexividade. Lembrete didático: uma relação
em
é reflexiva se, para todo
, tivermos
. Aqui isso significa verificar se, para todo
,
Simplificando, a condição para
se relacionar consigo mesmo é
Portanto apenas os
com
satisfazem
. Como existem
que não satisfazem isso (por exemplo
ou
), a relação não é reflexiva em todo
. Um contraexemplo simples: para
temos
, logo
. Conclusão:
não é reflexiva em
.
Passo 3
Definição e teste de simetria. Lembrete didático: uma relação
é simétrica se, sempre que
, então
. Aqui a condição é
. Observe que
— a expressão é simétrica em
e
. Assim, se
então automaticamente
. Portanto a relação
é simétrica. Explicando com calma: a definição envolve trocar os papéis de
e
; como a condição é uma soma de quadrados, a troca não altera nada.
Passo 4
Definição e teste de transitividade. Lembrete didático:
é transitiva se, sempre que
e
, então
. Aqui precisamos verificar se
implicam
Mostramos que isso não vale em geral, dando um contraexemplo explícito. Tome
,
,
. Então
logo
e
. Porém
logo
. Assim a transitividade falha. Conclusão:
não é transitiva.
Passo 5
Conclusão sobre ser relação de equivalência. Uma relação de equivalência precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva simultaneamente. Aqui vimos:
- Não é reflexiva (contraex.:
). - É simétrica.
- Não é transitiva (contraex.:
e mas ).
Portanto
não é uma relação de equivalência sobre
.
Passo 6
Comentário adicional (útil para a prova): embora
não seja equivalência em
, se você restringir o universo para o subconjunto
então para quaisquer
vale
, ou seja, todo par em
está relacionado (a relação é a relação total em
). Nesse caso a relação restrita a
é reflexiva, simétrica e transitiva (é a relação universal em
), e o conjunto quociente seria trivial: há apenas uma classe de equivalência,
inteiro. Mas isso é uma observação extra — para o universo pedido
a relação não é equivalência.
Resposta
A relação
não é uma relação de equivalência em
(falha a reflexividade e a transitividade; é apenas simétrica). Logo não há conjunto quociente (partição) associado em
.