Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
em
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
definida no conjunto
por
O que se pede: verificar se essa relação é uma relação de equivalência (ou seja, se é reflexiva, simétrica e transitiva) e, caso seja equivalência, descrever o conjunto quociente (a partição de
em classes de equivalência).
Lista das informações relevantes que temos:
- Domínio:
. - Regra: dois inteiros
e estão relacionados se e só se o produto for maior ou igual a zero.
Passo 2
Vou lembrar o que significa ser relação de equivalência — explicando devagar, como a gente combinaria isso na prova:
-
Reflexiva: para todo
, deve valer . Isso significa verificar se para todo . -
Simétrica: para todo
, se então deve valer . Ou seja, devemos ver se implica . -
Transitiva: para todo
, se e então deve valer . Em termos de produto: de e queremos concluir .
Na prova, cada uma dessas propriedades deve ser verificada separadamente.
Passo 3
Verificando reflexividade com detalhe e uma mini-aula:
Para qualquer
, o produto
é
. Sabemos que
para todo inteiro
(um quadrado nunca é negativo). Portanto, para todo
vale
, isto é,
Conclusão:
é reflexiva.
Observação didática: lembrar na prova que não precisamos enumerar valores, basta usar a propriedade geral
.
Passo 4
Verificando simetria com explicação:
Se
então, por definição,
. Mas
, logo
, e isso significa exatamente
. Portanto a relação é simétrica.
Observação didática: simetria aqui é imediata porque o produto é comutativo — sempre vale
.
Passo 5
Agora a parte que costuma quebrar a relação: verificar transitividade. Vou explicar o que é preciso e depois mostrar um contraexemplo que desmonta a transitividade.
Queremos: de
e
seguir
para quaisquer
. Em muitos casos isso seria verdade, mas devemos checar todos os
. Uma maneira eficiente na prova é tentar encontrar um contraexemplo: valores que satisfaçam as duas primeiras desigualdades e falhem na terceira.
Escolhemos
,
e
. Verificações passo a passo:
-
. Como , temos . -
. Como , temos . - Mas
. Aqui , logo é falso.
Portanto encontramos
tais que
e
ocorrem, mas
não ocorre. Isso prova que
não é transitiva.
Observação didática: um padrão útil para testar transitividade é usar
, porque
se relaciona com todo mundo (produto com zero é zero), o que permite ligar elementos de sinais opostos sem que o produto entre os extremos seja não-negativo.
Passo 6
Conclusão sobre ser relação de equivalência e sobre conjuntos quocientes:
-
Já que
é reflexiva e simétrica, mas falha em ser transitiva, ela NÃO é uma relação de equivalência. -
Como não é relação de equivalência, não existe (no sentido padrão) um conjunto quociente
formado por classes de equivalência que particionem . Ou seja, não há uma partição de em classes de equivalência associada a .
Resposta
A relação
não é de equivalência (é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva).\nPortanto, não existe conjunto quociente (partição em classes de equivalência) associado a
.