Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{1} y \Leftrightarrow x y \geq 0 em A=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a relação \mathcal{R}_{1} definida no conjunto A=\mathbb{Z} por
x\mathcal{R}_{1}y \iff xy\geq 0.
O que se pede: verificar se essa relação é uma relação de equivalência (ou seja, se é reflexiva, simétrica e transitiva) e, caso seja equivalência, descrever o conjunto quociente (a partição de \mathbb{Z} em classes de equivalência).
Lista das informações relevantes que temos:
  • Domínio: A=\mathbb{Z}.
  • Regra: dois inteiros x e y estão relacionados se e só se o produto xy for maior ou igual a zero.

Passo 2

Vou lembrar o que significa ser relação de equivalência — explicando devagar, como a gente combinaria isso na prova:
  • Reflexiva: para todo x\in A, deve valer x\mathcal{R}_{1}x. Isso significa verificar se xx\geq 0 para todo x\in\mathbb{Z}.
  • Simétrica: para todo x,y\in A, se x\mathcal{R}_{1}y então deve valer y\mathcal{R}_{1}x. Ou seja, devemos ver se xy\geq 0 implica yx\geq 0.
  • Transitiva: para todo x,y,z\in A, se x\mathcal{R}_{1}y e y\mathcal{R}_{1}z então deve valer x\mathcal{R}_{1}z. Em termos de produto: de xy\geq 0 e yz\geq 0 queremos concluir xz\geq 0.
Na prova, cada uma dessas propriedades deve ser verificada separadamente.

Passo 3

Verificando reflexividade com detalhe e uma mini-aula:
Para qualquer x\in\mathbb{Z}, o produto x\cdot x é x^2. Sabemos que x^2\geq 0 para todo inteiro x (um quadrado nunca é negativo). Portanto, para todo x\in\mathbb{Z} vale xx=x^2\geq 0, isto é,
x\mathcal{R}_{1}x.
Conclusão: \mathcal{R}_{1} é reflexiva.
Observação didática: lembrar na prova que não precisamos enumerar valores, basta usar a propriedade geral x^2\ge 0.

Passo 4

Verificando simetria com explicação:
Se x\mathcal{R}_{1}y então, por definição, xy\geq 0. Mas xy=yx, logo yx\geq 0, e isso significa exatamente y\mathcal{R}_{1}x. Portanto a relação é simétrica.
Observação didática: simetria aqui é imediata porque o produto é comutativo — sempre vale xy=yx.

Passo 5

Agora a parte que costuma quebrar a relação: verificar transitividade. Vou explicar o que é preciso e depois mostrar um contraexemplo que desmonta a transitividade.
Queremos: de xy\geq 0 e yz\geq 0 seguir xz\geq 0 para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Z}. Em muitos casos isso seria verdade, mas devemos checar todos os x,y,z. Uma maneira eficiente na prova é tentar encontrar um contraexemplo: valores que satisfaçam as duas primeiras desigualdades e falhem na terceira.
Escolhemos x=1, y=0 e z=-1. Verificações passo a passo:
  • x y = 1\cdot 0 = 0. Como 0\geq 0, temos x\mathcal{R}_{1}y.
  • y z = 0\cdot(-1) = 0. Como 0\geq 0, temos y\mathcal{R}_{1}z.
  • Mas x z = 1\cdot(-1) = -1. Aqui -1\not\geq 0, logo x\mathcal{R}_{1}z é falso.
Portanto encontramos x,y,z\in\mathbb{Z} tais que x\mathcal{R}_{1}y e y\mathcal{R}_{1}z ocorrem, mas x\mathcal{R}_{1}z não ocorre. Isso prova que \mathcal{R}_{1} não é transitiva.
Observação didática: um padrão útil para testar transitividade é usar y=0, porque 0 se relaciona com todo mundo (produto com zero é zero), o que permite ligar elementos de sinais opostos sem que o produto entre os extremos seja não-negativo.

Passo 6

Conclusão sobre ser relação de equivalência e sobre conjuntos quocientes:
  • Já que \mathcal{R}_{1} é reflexiva e simétrica, mas falha em ser transitiva, ela NÃO é uma relação de equivalência.
  • Como não é relação de equivalência, não existe (no sentido padrão) um conjunto quociente A/\mathcal{R}_{1} formado por classes de equivalência que particionem \mathbb{Z}. Ou seja, não há uma partição de \mathbb{Z} em classes de equivalência associada a \mathcal{R}_{1}.

Resposta

A relação \mathcal{R}_{1} não é de equivalência (é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva).\nPortanto, não existe conjunto quociente (partição em classes de equivalência) associado a \mathcal{R}_{1}.

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