Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
em
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
em
definida por
O que se pede: verificar se
é uma relação de equivalência sobre
. Se for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (as classes de equivalência / partição). Se não for, dizer por quê.
Passo 2
Primeiro vamos recordar o que significa ser relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é equivalência se e somente se satisfaz simultaneamente três propriedades:
Vou checar cada uma dessas propriedades para a relação
.
Passo 3
Verificação da reflexividade.
Tomemos qualquer
. A desigualdade
é sempre verdadeira (todo número é maior ou igual a si mesmo). Portanto, para todo
temos
. Conclusão:
é reflexiva.
Pequena explicação didática: a definição de “
” inclui a igualdade, então a condição reflexiva é imediatamente satisfeita.
Passo 4
Verificação da simetria.
Para ser simétrica precisaríamos que sempre que
então
. Mas isso só ocorre quando
. Basta um contraexemplo para mostrar que a propriedade não vale em geral. Por exemplo, escolha
e
. Temos
, ou seja
é verdadeiro. Porém
é falso, então
é falso. Logo a implicação
falha. Conclusão:
não é simétrica.
Interpretação intuitiva: “
” é uma relação orientada (tem direção); não é verdade que quando um número é maior que outro o inverso também seja verdadeiro, salvo quando são iguais.
Passo 5
Verificação da transitividade.
Suponha
com
e
. Isso significa
e
. Pela propriedade usual das desigualdades, se
e
então
. Portanto
. Conclusão:
é transitiva.
Explicação didática: a desigualdade
“compõe” — passar de
para
através de
preserva a ordem.
Passo 6
Conclusão sobre ser equivalência e observação adicional.
Resumo das propriedades verificadas:
- reflexiva: sim;
- simétrica: não (contraexemplo mostrado);
- transitiva: sim.
Como falta a simetria,
não é uma relação de equivalência em
. Portanto não existe uma partição de
dada por classes de equivalência associadas a
.
Complemento útil (para entender o tipo de relação que temos): além de ser reflexiva e transitiva,
também é anti-simétrica, pois se
e
então necessariamente
. Assim
é uma ordem parcial (na verdade é a ordem total usual em
). Isso explica por que não se obtém classes de equivalência não triviais — a única “classe” de elementos mutuamente relacionados por
e também pelo inverso seria a classe singleton de cada ponto (se insistíssemos em definir algo), mas isso não vem de uma equivalência não-trivial, e formalmente não há quociente da forma usual porque não há equivalência.