Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{2} y \Leftrightarrow x \geq y em A=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a relação \mathcal{R}_{2} em A=\mathbb{R} definida por
x \mathcal{R}_{2} y \iff x \geq y.
O que se pede: verificar se \mathcal{R}_{2} é uma relação de equivalência sobre \mathbb{R}. Se for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (as classes de equivalência / partição). Se não for, dizer por quê.

Passo 2

Primeiro vamos recordar o que significa ser relação de equivalência. Uma relação R em um conjunto A é equivalência se e somente se satisfaz simultaneamente três propriedades:
\text{(i) reflexiva: } \forall x\in A,\; xRx.
\text{(ii) simétrica: } \forall x,y\in A,\; (xRy \Rightarrow yRx).é
\text{(iii) transitiva: } \forall x,y,z\in A,\; (xRy \land yRz \Rightarrow xRz).
Vou checar cada uma dessas propriedades para a relação \mathcal{R}_{2}.

Passo 3

Verificação da reflexividade.
Tomemos qualquer x\in\mathbb{R}. A desigualdade \;x\geq x\; é sempre verdadeira (todo número é maior ou igual a si mesmo). Portanto, para todo x\in\mathbb{R} temos x\mathcal{R}_{2}x. Conclusão: \mathcal{R}_{2} é reflexiva.
Pequena explicação didática: a definição de “ \geq” inclui a igualdade, então a condição reflexiva é imediatamente satisfeita.

Passo 4

Verificação da simetria.
Para ser simétrica precisaríamos que sempre que x\geq y então y\geq x. Mas isso só ocorre quando x=y. Basta um contraexemplo para mostrar que a propriedade não vale em geral. Por exemplo, escolha x=2 e y=1. Temos 2\geq1, ou seja x\mathcal{R}_{2}y é verdadeiro. Porém 1\geq2 é falso, então y\mathcal{R}_{2}x é falso. Logo a implicação x\mathcal{R}_{2}y \Rightarrow y\mathcal{R}_{2}x falha. Conclusão: \mathcal{R}_{2} não é simétrica.
Interpretação intuitiva: “ \geq” é uma relação orientada (tem direção); não é verdade que quando um número é maior que outro o inverso também seja verdadeiro, salvo quando são iguais.

Passo 5

Verificação da transitividade.
Suponha x,y,z\in\mathbb{R} com x\mathcal{R}_{2}y e y\mathcal{R}_{2}z. Isso significa x\geq y e y\geq z. Pela propriedade usual das desigualdades, se x\geq y e y\geq z então x\geq z. Portanto x\mathcal{R}_{2}z. Conclusão: \mathcal{R}_{2} é transitiva.
Explicação didática: a desigualdade \geq “compõe” — passar de x para z através de y preserva a ordem.

Passo 6

Conclusão sobre ser equivalência e observação adicional.
Resumo das propriedades verificadas:
  • reflexiva: sim;
  • simétrica: não (contraexemplo mostrado);
  • transitiva: sim.
Como falta a simetria, \mathcal{R}_{2} não é uma relação de equivalência em \mathbb{R}. Portanto não existe uma partição de \mathbb{R} dada por classes de equivalência associadas a \mathcal{R}_{2}.
Complemento útil (para entender o tipo de relação que temos): além de ser reflexiva e transitiva, \mathcal{R}_{2} também é anti-simétrica, pois se x\geq y e y\geq x então necessariamente x=y. Assim \mathcal{R}_{2} é uma ordem parcial (na verdade é a ordem total usual em \mathbb{R}). Isso explica por que não se obtém classes de equivalência não triviais — a única “classe” de elementos mutuamente relacionados por \geq e também pelo inverso seria a classe singleton de cada ponto (se insistíssemos em definir algo), mas isso não vem de uma equivalência não-trivial, e formalmente não há quociente da forma usual porque não há equivalência.

Resposta

\mathcal{R}_{2} não é relação de equivalência (falta simetria). Não há conjunto quociente (partição) associado a \mathcal{R}_{2}.

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