Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
em
representa o módulo de
.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a relação
é uma relação de equivalência no conjunto
.
Informações dadas: está definida em
e relaciona dois reais sempre que eles têm o mesmo módulo (valor absoluto). O objetivo é: (a) confirmar se
satisfaz as três propriedades exigidas para ser relação de equivalência; (b) quando for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (a partição de
em classes de equivalência).
Informações dadas:
Passo 2
Lembraremos o que significa ser uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é de equivalência se for simultaneamente:
- Reflexiva: para todo
vale . - Simétrica: se
então . - Transitiva: se
e então .
Vamos verificar cada propriedade para
.
Passo 3
Verificação da reflexividade.
Definição útil: o módulo (valor absoluto) de um número real satisfaz
e, em particular,
para todo
.
Portanto, para todo temos
, o que significa
.
Conclusão: é reflexiva.
Definição útil: o módulo (valor absoluto) de um número real
Portanto, para todo
Conclusão:
Passo 4
Verificação da simetria.
Suponha que . Pela definição da relação isso significa que
. A igualdade é simétrica: de
segue
. Pela definição, isto é exatamente
.
Conclusão: é simétrica.
Suponha que
Conclusão:
Passo 5
Verificação da transitividade.
Suponha que e
. Isso significa
e
. Pela propriedade transitiva da igualdade de números reais, de
e
segue
. Pela definição, isso é
.
Conclusão: é transitiva.
Suponha que
Conclusão:
Passo 6
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de equivalência em
.
Passo 7
Agora vamos determinar as classes de equivalência. A classe de equivalência de um elemento
é
O conjunto
contém exatamente os dois números
e
, exceto quando
, caso em que
. Portanto:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 8
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Para
temos . - Para
temos (que é a mesma classe de ). - Para
temos .
Passo 9
Descrição da partição / conjunto quociente. A partição de
induzida por
é o conjunto das classes de equivalência:
Outra forma conveniente de ver isso é observar que cada classe é determinada pelo módulo não-negativo
. Assim há uma bijeção natural entre
e o conjunto
, dada por
.
Resposta
Sim:
é relação de equivalência em
.\n