Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{3} y \Leftrightarrow|x|=|y| em A=\mathbb{R} \quad(|x| representa o módulo de x).

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a relação x\mathcal{R}_{3}y \Leftrightarrow |x|=|y| é uma relação de equivalência no conjunto A=\mathbb{R}.
Informações dadas: \mathcal{R}_{3} está definida em \mathbb{R} e relaciona dois reais sempre que eles têm o mesmo módulo (valor absoluto). O objetivo é: (a) confirmar se \mathcal{R}_{3} satisfaz as três propriedades exigidas para ser relação de equivalência; (b) quando for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (a partição de \mathbb{R} em classes de equivalência).

Passo 2

Lembraremos o que significa ser uma relação de equivalência. Uma relação \mathcal{R} em um conjunto A é de equivalência se for simultaneamente:
  1. Reflexiva: para todo x\in A vale x\mathcal{R}x.
  2. Simétrica: se x\mathcal{R}y então y\mathcal{R}x.
  3. Transitiva: se x\mathcal{R}y e y\mathcal{R}z então x\mathcal{R}z.
Vamos verificar cada propriedade para \mathcal{R}_{3}.

Passo 3

Verificação da reflexividade.
Definição útil: o módulo (valor absoluto) de um número real x satisfaz |x|\ge 0 e, em particular, |x|=|x| para todo x.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R} temos |x|=|x|, o que significa x\mathcal{R}_{3}x.
Conclusão: \mathcal{R}_{3} é reflexiva.

Passo 4

Verificação da simetria.
Suponha que x\mathcal{R}_{3}y. Pela definição da relação isso significa que |x|=|y|. A igualdade é simétrica: de |x|=|y| segue |y|=|x|. Pela definição, isto é exatamente y\mathcal{R}_{3}x.
Conclusão: \mathcal{R}_{3} é simétrica.

Passo 5

Verificação da transitividade.
Suponha que x\mathcal{R}_{3}y e y\mathcal{R}_{3}z. Isso significa |x|=|y| e |y|=|z|. Pela propriedade transitiva da igualdade de números reais, de |x|=|y| e |y|=|z| segue |x|=|z|. Pela definição, isso é x\mathcal{R}_{3}z.
Conclusão: \mathcal{R}_{3} é transitiva.

Passo 6

Como \mathcal{R}_{3} é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que \mathcal{R}_{3} é uma relação de equivalência em \mathbb{R}.

Passo 7

Agora vamos determinar as classes de equivalência. A classe de equivalência de um elemento x\in\mathbb{R} é
[x] = \{y\in\mathbb{R} \mid y\mathcal{R}_{3}x\} = \{y\in\mathbb{R} \mid |y|=|x|\}.
O conjunto \{y\in\mathbb{R} \mid |y|=|x|\} contém exatamente os dois números x e -x, exceto quando x=0, caso em que -x=x. Portanto:
  • Se x=0, então [0]=\{0\}.
  • Se x\neq 0, então [x]=\{x,-x\}.

Passo 8

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Para x=3 temos [3]=\{3,-3\}.
  • Para x=-2 temos [-2]=\{2,-2\} (que é a mesma classe de 2).
  • Para x=0 temos [0]=\{0\}.

Passo 9

Descrição da partição / conjunto quociente. A partição de \mathbb{R} induzida por \mathcal{R}_{3} é o conjunto das classes de equivalência:
\mathbb{R}/\mathcal{R}_{3}=\{[x]\mid x\in\mathbb{R}\}=\{\{0\}\}\;\cup\;\{\{a,-a\}\mid a\in\mathbb{R},\; a>0\}.
Outra forma conveniente de ver isso é observar que cada classe é determinada pelo módulo não-negativo r=|x|. Assim há uma bijeção natural entre \mathbb{R}/\mathcal{R}_{3} e o conjunto [0,\infty)=\{r\in\mathbb{R}\mid r\ge 0\}, dada por [x]\mapsto |x|.

Resposta

Sim: \mathcal{R}_{3} é relação de equivalência em \mathbb{R}.\n \displaystyle \mathbb{R}/\mathcal{R}_{3}=\{\{0\}\}\cup\{\{a,-a\}\mid a>0\}

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