Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
em
definida por:
é par;
Passo 1
O enunciado define em
a relação
Queremos verificar se
é reflexiva, simétrica e transitiva, usando as definições de paridade e das propriedades de relações.
Passo 2
Verificando reflexividade:
Para todo ,
Para todo
e como
é múltiplo de
, ele é par. Logo
para todo
. Assim,
é reflexiva.
Passo 3
Verificando simetria:
Suponha . Então
é par. Como a soma de inteiros é comutativa,
Suponha
também é par. Logo
. Assim,
é simétrica.
Passo 4
Verificando transitividade:
Suponha e
. Então existem inteiros
tais que
Suponha
Somando as duas igualdades:
Como
é par, a diferença entre um número par e
continua sendo par. Portanto
é par, o que dá
. Assim,
é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva; logo, é uma relação de equivalência em
.