Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
R em Z definida por: m R n Leftrightarrow m+n é par;

Passo 1

O enunciado define em Z a relação
m R n Leftrightarrow m+n é par é
Queremos verificar se R é reflexiva, simétrica e transitiva, usando as definições de paridade e das propriedades de relações.

Passo 2

Verificando reflexividade:
Para todo minZ,
m+m = 2m,
e como 2m é múltiplo de 2, ele é par. Logo m R m para todo m. Assim, R é reflexiva.

Passo 3

Verificando simetria:
Suponha mRn. Então m+n é par. Como a soma de inteiros é comutativa,
n+m = m+n
também é par. Logo nRm. Assim, R é simétrica.

Passo 4

Verificando transitividade:
Suponha mRn e nRp. Então existem inteiros k,ell tais que
m+n = 2k e n+p = 2ell
Somando as duas igualdades:
(m+n)+(n+p) = 2k + 2ell Longrightarrow m + 2n + p = 2(k+ell)
Como 2n é par, a diferença entre um número par e 2n continua sendo par. Portanto
m+p = 2(k+ell) - 2n
é par, o que dá mRp. Assim, R é transitiva.

Resposta

A relação R é reflexiva, simétrica e transitiva; logo, é uma relação de equivalência em Z.

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