Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
R em N definida por: m R n Leftrightarrow m>n;

Passo 1

O enunciado define a relação R em N por
mRn iff m > n
Vamos usar as definições de reflexiva, simétrica e transitiva para verificar cada propriedade.

Passo 2

Verificando reflexividade: R seria reflexiva se, para todo minN, valesse mRm. Isso exigiria
m>m,
o que nunca ocorre em N. Por exemplo, para m=1 temos 1not>1, logo 1R1 é falso. Portanto R não é reflexiva.

Passo 3

Verificando simetria: R seria simétrica se, sempre que mRn (isto é, m>n), também valesse nRm (isto é, n>m). Mas claramente m>n não implica n>m. Por exemplo, 2>1 faz 2R1 verdadeiro, enquanto 1>2 é falso, então 1R2 é falso. Logo R não é simétrica.

Passo 4

Verificando transitividade: R é transitiva se, sempre que mRn e nRp (isto é, m>n e n>p), tivermos também mRp (isto é, m>p). Como a desigualdade estrita > é transitiva em N, de fato de m>n e n>p segue-se m>p. Portanto R é transitiva.

Resposta

R não é reflexiva, não é simétrica e é transitiva.

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