Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
em
definida por:
;
Passo 1
O enunciado define a relação
em
por
Vamos usar as definições de reflexiva, simétrica e transitiva para verificar cada propriedade.
Passo 2
Verificando reflexividade:
seria reflexiva se, para todo
, valesse
. Isso exigiria
o que nunca ocorre em
. Por exemplo, para
temos
, logo
é falso. Portanto
não é reflexiva.
Passo 3
Verificando simetria:
seria simétrica se, sempre que
(isto é,
), também valesse
(isto é,
). Mas claramente
não implica
. Por exemplo,
faz
verdadeiro, enquanto
é falso, então
é falso. Logo
não é simétrica.
Passo 4
Verificando transitividade:
é transitiva se, sempre que
e
(isto é,
e
), tivermos também
(isto é,
). Como a desigualdade estrita
é transitiva em
, de fato de
e
segue-se
. Portanto
é transitiva.