Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
R em R definida por: x R y Leftrightarrow y=e^x;

Passo 1

O enunciado define em R a relação
xRy ;Leftrightarrow; y = e^x
Queremos verificar se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos usar as definições:
– reflexiva: forall x,;xRx.
– simétrica: forall x,y,;xRyimplies yRx.
– transitiva: forall x,y,z,;xRywed>= yRzimplies xRz.

Passo 2

Verificando reflexividade:
Para todo xinR precisaríamos ter
xRxLong<=ftrightarrow x = e^x
Mas x = e^x não se verifica para qualquer x. Por exemplo, tomando x=0 temos 0neq e^0=1. Logo a relação não é reflexiva.

Passo 3

Verificando simetria:
Se xRy então y = e^x. Para ser simétrica precisaríamos também de yRx, isto é x = e^y.
Contraexemplo: tomo x=0, então y=e^0=1 e 0R1 vale; mas 1R0 exigiria 0=e^1, o que é falso. Logo a relação não é simétrica.

Passo 4

Verificando transitividade:
Suponha xRy e yRz. Então
y = e^x, z = e^y = e^e^x
Para ser transitiva precisaríamos xRz, isto é z = e^x. Mas z = e^e^xneq e^x em geral.
Contraexemplo: x=0, y=1, z=e. Temos 0R1 e 1Re, mas não 0Re (pois eneq e^0=1). Logo a relação não é transitiva.

Resposta

A relação não é reflexiva, não é simétrica e não é transitiva.

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