Verifique se as relações a seguir satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (demonstrando ou dando contraexemplos)
em
definida por:
;
Passo 1
O enunciado define em
a relação
Queremos verificar se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos usar as definições:
– reflexiva: .
– simétrica: .
– transitiva: .
– reflexiva:
– simétrica:
– transitiva:
Passo 2
Verificando reflexividade:
Para todo precisaríamos ter
Para todo
Mas
não se verifica para qualquer
. Por exemplo, tomando
temos
. Logo a relação não é reflexiva.
Passo 3
Verificando simetria:
Se então
. Para ser simétrica precisaríamos também de
, isto é
.
Contraexemplo: tomo , então
e
vale; mas
exigiria
, o que é falso. Logo a relação não é simétrica.
Se
Contraexemplo: tomo
Passo 4
Verificando transitividade:
Suponha e
. Então
Suponha
Para ser transitiva precisaríamos
, isto é
. Mas
em geral.
Contraexemplo: ,
,
. Temos
e
, mas não
(pois
). Logo a relação não é transitiva.
Contraexemplo:
Resposta
A relação não é reflexiva, não é simétrica e não é transitiva.