As trajetórias são concorrentes? (Isto é, as retas geométricas por onde os pontos passam se intersectam em algum ponto de \mathbb{R}^3?)
Haverá colisão? (Isto é, os dois pontos ocupam o mesmo ponto no mesmo instante de tempo, assumindo que o parâmetro representa o mesmo parâmetro temporal para ambos?)]
Passo 2
Primeira coisa prática: como o enunciado usou a mesma letra \lambda para ambas as equações, isso pode gerar ambiguidade. Vou ser explícito e chamar o parâmetro do primeiro movimento de t e o do segundo de s. Assim temos as posições das duas partículas em função de seus parâmetros:
Uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser escrita em forma paramétrica (x,y,z) = P_0 + u\cdot v, onde P_0 é um ponto na reta e v é um vetor diretor. Aqui t e s são só parâmetros que percorrem toda a reta quando variam em \mathbb{R}.
“Trajetórias concorrentes” significa que existe pelo menos um ponto (x,y,z) tal que existam t e s (possivelmente diferentes) com X_1(t)=X_2(s).
“Colisão” (no sentido físico usual) significa que existe um instante de tempo comum u tal que X_1(u)=X_2(u). Ou seja, os parâmetros são o mesmo tempo e os pontos coincidem naquele mesmo valor do parâmetro.
Passo 3
Para verificar concorrência (intersecção geométrica), equalizo as coordenadas e resolvo para t\) e \(s\):
\[(t,\;2t,\;4t)=(1-s,\;-s,\;-2-s).
Isto gera o sistema de três equações:
\begin{cases} t = 1 - s,\\[4pt] 2t = -s,\\[4pt] 4t = -2 - s. \end{cases}
Agora resolvo passo a passo. Da segunda equação:
2t = -s \quad\Rightarrow\quad s = -2t.
Substituo s=-2t\] na primeira equação:
\[t = 1 - s = 1 - (-2t) = 1 + 2t.\]
Isto dá
\[t - 2t = 1 \quad\Rightarrow\quad -t = 1 \quad\Rightarrow\quad t = -1.\]
Com \(t=-1, obtemos
s = -2t = -2(-1) = 2.
Verifico rapidamente a terceira equação para consistência:
4t = 4(-1) = -4,\qquad -2 - s = -2 - 2 = -4,
portanto a terceira equação também é satisfeita. Logo existe um par (t,s)=(-1,2) que torna X_1(t)=X_2(s).
Encontro o ponto de intersecção substituindo t=-1 em X_1(t):
X_1(-1) = (-1,\;-2,\;-4).]
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior:
Como existe (t,s)=(-1,2) com X_1(t)=X_2(s), as duas retas (trajetórias geométricas) intersectam-se no ponto (-1,-2,-4). Portanto as trajetórias são concorrentes. Isso responde a primeira pergunta.
Passo 5
Agora analiso a colisão (mesmo instante de tempo). Para haver colisão assumindo que os parâmetros representam o mesmo tempo para as duas partículas, precisamos de um único valor u\) tal que
\[X_1(u)=X_2(u).
Isto leva ao sistema (substituindo t=s=u):
\begin{cases} u = 1 - u,\\[4pt] 2u = -u,\\[4pt] 4u = -2 - u. \end{cases}
Da primeira equação u = 1 - u\] vem \(2u = 1\Rightarrow u=\tfrac{1}{2}.
Da segunda equação 2u = -u vem 3u=0\Rightarrow u=0.
Estas duas condições são incompatíveis (u=\tfrac{1}{2} e u=0 não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo). Assim não existe u que satisfaça todas as equações: não há instante comum em que as posições coincidam. Logo, não há colisão se entendemos colisão como ocuparem o mesmo ponto ao mesmo tempo.]
Passo 6
Resumo físico e observação final:
Geometricamente: as trajetórias intersectam-se no ponto (-1,-2,-4). Um encontro espacial existe.
Temporalmente: os instantes em que cada partícula passa por esse ponto são diferentes (t=-1 para a primeira e s=2 para a segunda). Portanto, sem alterar a parametrização temporal dada, não ocorre colisão no mesmo instante.
Força aí — você já tem tudo mastigadinho para usar esse método em outros exercícios: iguala coordenadas, resolve sistema para parâmetros independentes (intersecção geométrica) e depois testa se há solução com os parâmetros iguais (colisão no mesmo tempo).
Resposta
Sim. As trajetórias são concorrentes; intersectam-se em (-1,-2,-4).
Não. Não haverá colisão (os instantes são t=-1 para a primeira e s=2 para a segunda, diferentes).