Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
\begin{array}{ll} X=(0,0,0)+\lambda(1,2,4) & (\lambda \in \mathbb{R}) \\\ X=(1,0,-2)+\lambda(-1,-1,-1) & (\lambda \in \mathbb{R}) \end{array}
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias paramétricas de pontos em \mathbb{R}^3. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
\begin{array}{ll} X_1=(0,0,0)+\lambda(1,2,4), & (\lambda \in \mathbb{R})\\[4pt] X_2=(1,0,-2)+\lambda( -1,-1,-1), & (\lambda \in \mathbb{R}) \end{array}
Perguntas (claras e separadas):
  1. As trajetórias são concorrentes? (Isto é, as retas geométricas por onde os pontos passam se intersectam em algum ponto de \mathbb{R}^3?)
  2. Haverá colisão? (Isto é, os dois pontos ocupam o mesmo ponto no mesmo instante de tempo, assumindo que o parâmetro representa o mesmo parâmetro temporal para ambos?)]

Passo 2

Primeira coisa prática: como o enunciado usou a mesma letra \lambda para ambas as equações, isso pode gerar ambiguidade. Vou ser explícito e chamar o parâmetro do primeiro movimento de t e o do segundo de s. Assim temos as posições das duas partículas em função de seus parâmetros:
X_1(t) = (0,0,0)+t(1,2,4) = (t,\;2t,\;4t),\qquad t\in\mathbb{R},
X_2(s) = (1,0,-2)+s(-1,-1,-1) = (1-s,\;-s,\;-2-s),\qquad s\in\mathbb{R}.
Explicação didática rápida:
  • Uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser escrita em forma paramétrica (x,y,z) = P_0 + u\cdot v, onde P_0 é um ponto na reta e v é um vetor diretor. Aqui t e s são só parâmetros que percorrem toda a reta quando variam em \mathbb{R}.
  • “Trajetórias concorrentes” significa que existe pelo menos um ponto (x,y,z) tal que existam t e s (possivelmente diferentes) com X_1(t)=X_2(s).
  • “Colisão” (no sentido físico usual) significa que existe um instante de tempo comum u tal que X_1(u)=X_2(u). Ou seja, os parâmetros são o mesmo tempo e os pontos coincidem naquele mesmo valor do parâmetro.

Passo 3

Para verificar concorrência (intersecção geométrica), equalizo as coordenadas e resolvo para t\) e \(s\): \[(t,\;2t,\;4t)=(1-s,\;-s,\;-2-s).
Isto gera o sistema de três equações:
\begin{cases} t = 1 - s,\\[4pt] 2t = -s,\\[4pt] 4t = -2 - s. \end{cases}
Agora resolvo passo a passo. Da segunda equação:
2t = -s \quad\Rightarrow\quad s = -2t.
Substituo s=-2t\] na primeira equação: \[t = 1 - s = 1 - (-2t) = 1 + 2t.\] Isto dá \[t - 2t = 1 \quad\Rightarrow\quad -t = 1 \quad\Rightarrow\quad t = -1.\] Com \(t=-1, obtemos
s = -2t = -2(-1) = 2.
Verifico rapidamente a terceira equação para consistência:
4t = 4(-1) = -4,\qquad -2 - s = -2 - 2 = -4,
portanto a terceira equação também é satisfeita. Logo existe um par (t,s)=(-1,2) que torna X_1(t)=X_2(s).
Encontro o ponto de intersecção substituindo t=-1 em X_1(t):
X_1(-1) = (-1,\;-2,\;-4).]

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior:
  • Como existe (t,s)=(-1,2) com X_1(t)=X_2(s), as duas retas (trajetórias geométricas) intersectam-se no ponto (-1,-2,-4). Portanto as trajetórias são concorrentes. Isso responde a primeira pergunta.

Passo 5

Agora analiso a colisão (mesmo instante de tempo). Para haver colisão assumindo que os parâmetros representam o mesmo tempo para as duas partículas, precisamos de um único valor u\) tal que \[X_1(u)=X_2(u).
Isto leva ao sistema (substituindo t=s=u):
\begin{cases} u = 1 - u,\\[4pt] 2u = -u,\\[4pt] 4u = -2 - u. \end{cases}
Da primeira equação u = 1 - u\] vem \(2u = 1\Rightarrow u=\tfrac{1}{2}.
Da segunda equação 2u = -u vem 3u=0\Rightarrow u=0.
Estas duas condições são incompatíveis ( u=\tfrac{1}{2} e u=0 não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo). Assim não existe u que satisfaça todas as equações: não há instante comum em que as posições coincidam. Logo, não há colisão se entendemos colisão como ocuparem o mesmo ponto ao mesmo tempo.]

Passo 6

Resumo físico e observação final:
  • Geometricamente: as trajetórias intersectam-se no ponto (-1,-2,-4). Um encontro espacial existe.
  • Temporalmente: os instantes em que cada partícula passa por esse ponto são diferentes ( t=-1 para a primeira e s=2 para a segunda). Portanto, sem alterar a parametrização temporal dada, não ocorre colisão no mesmo instante.
Força aí — você já tem tudo mastigadinho para usar esse método em outros exercícios: iguala coordenadas, resolve sistema para parâmetros independentes (intersecção geométrica) e depois testa se há solução com os parâmetros iguais (colisão no mesmo tempo).

Resposta

Sim. As trajetórias são concorrentes; intersectam-se em (-1,-2,-4).
Não. Não haverá colisão (os instantes são t=-1 para a primeira e s=2 para a segunda, diferentes).

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