1. Verifique se a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2+z \\\ y=1-2 z\end{array}\right. em que z \in \mathbb{R}, intersecta o plano \pi: x+y-z=5. Se sim, determine o ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a reta
r:\begin{cases} x = 2 + z,\\\ y = 1 - 2z,\\\ z = z \end{cases} \quad(z\in\mathbb{R})
intersecta o plano
\pi: x + y - z = 5.
O conteúdo é geometria analítica; vamos parametrizar a reta e substituir na equação do plano para achar o parâmetro de interseção.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma vetorial pelo parâmetro z:
r(z) = (x,y,z) = (2+z,\;1-2z,\;z).
A equação implícita do plano é
x + y - z = 5.

Passo 3

Substituímos as coordenadas de r(z) em \pi:
(2+z) + (1-2z) - z = 5.
Simplificando, temos
3 - 2z = 5 \quad\Longrightarrow\quad -2z = 2 \quad\Longrightarrow\quad z = -1.

Passo 4

Com z=-1, o ponto na reta é
x = 2 + (-1) = 1,\quad y = 1 - 2(-1) = 3,\quad z = -1.

Resposta

A reta intersecta o plano, e o ponto de interseção é (1,3,-1).

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